Вопросы?, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют функцией?

2. Какое отображение называют взаимно однозначным отображением множества $X$ на множество $Y$?

3. Назовите способы задания функции.

4. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве $M$?

5. Какую функцию называют чётной; нечётной?

6. Каким свойством обладает график чётной функции; нечётной функции?

1. Что называют функцией?

Функцией называют правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения функции) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$ (называемого областью значений функции).

Обозначается это как $y = f(x)$, где:

• $x$ — независимая переменная или аргумент.
• $y$ — зависимая переменная или значение функции.
• $f$ — сама функция (правило соответствия).

Ключевым свойством функции является однозначность: одному значению аргумента $x$ может соответствовать только одно значение функции $y$.

Ответ: Функцией называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ из некоторого множества $X$ соответствует единственное значение переменной $y$ из множества $Y$.

2. Какое отображение называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y?

Взаимно однозначным отображением (или биекцией) множества $X$ на множество $Y$ называют такое отображение (функцию) $f: X \to Y$, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Инъективность (отображение «в»): Разным элементам множества $X$ соответствуют разные элементы множества $Y$. То есть, если $x_1 \neq x_2$ (где $x_1, x_2 \in X$), то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

2. Сюръективность (отображение «на»): Каждый элемент множества $Y$ является образом хотя бы одного элемента из множества $X$. То есть, для любого $y \in Y$ найдётся такой $x \in X$, что $f(x) = y$.

Таким образом, при взаимно однозначном отображении каждому элементу из $X$ соответствует ровно один элемент из $Y$, и наоборот, каждому элементу из $Y$ соответствует ровно один элемент из $X$.

Ответ: Взаимно однозначным отображением множества $X$ на множество $Y$ называют такое отображение, при котором каждый элемент из $X$ сопоставлен с единственным элементом из $Y$, и каждый элемент из $Y$ сопоставлен с единственным элементом из $X$.

3. Назовите способы задания функции.

Существует несколько основных способов задания функции:

• Аналитический способ: Функция задаётся с помощью математической формулы, которая устанавливает, какие вычислительные операции нужно произвести над аргументом $x$, чтобы найти значение функции $y$. Например, $y = x^2 + 2x - 1$. Это наиболее распространённый способ.

• Табличный способ: Функция задаётся с помощью таблицы, в которой для ряда значений аргумента указываются соответствующие им значения функции. Этот способ часто используется при работе с экспериментальными данными.

• Графический способ: Функция задаётся с помощью графика — множества всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты — соответствующими значениями функции. Этот способ даёт наглядное представление о поведении функции.

• Словесный способ: Правило, задающее функцию, описывается словами. Например: "каждому натуральному числу $x$ ставится в соответствие сумма его цифр".

Ответ: Основные способы задания функции: аналитический (формулой), табличный, графический и словесный.

4. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве M?

Наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $M$ (подмножестве области определения) называют такое число $y_{max}$, для которого выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0 \in M$ такая, что $f(x_0) = y_{max}$.
2. Для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \le y_{max}$.

Обозначение: $\max_{x \in M} f(x)$.

Наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $M$ называют такое число $y_{min}$, для которого выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0 \in M$ такая, что $f(x_0) = y_{min}$.
2. Для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \ge y_{min}$.

Обозначение: $\min_{x \in M} f(x)$.

Ответ: Наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве $M$ называют такое значение, которое функция принимает хотя бы в одной точке этого множества и которое не меньше (не больше) всех остальных значений функции на этом множестве.

5. Какую функцию называют чётной; нечётной?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Пример: $f(x) = x^2$, $f(x) = \cos(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Пример: $f(x) = x^3$, $f(x) = \sin(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется (например, область определения несимметрична или $f(-x)$ не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$), то функция называется функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Ответ: Чётной называют функцию, у которой для любого $x$ из симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Нечётной — функцию, у которой для любого $x$ из симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

6. Каким свойством обладает график чётной функции; нечётной функции?

Свойства графиков чётных и нечётных функций напрямую следуют из их определений.

График чётной функции:

Так как для чётной функции $f(-x) = f(x)$, то точки с противоположными абсциссами $(x, f(x))$ и $(-x, f(-x))$ имеют одинаковые ординаты. Такие точки симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$). Следовательно, весь график чётной функции симметричен относительно оси $Oy$.

График нечётной функции:

Так как для нечётной функции $f(-x) = -f(x)$, то точки с противоположными абсциссами $(x, f(x))$ и $(-x, f(-x))$ имеют и противоположные ординаты. Такие точки симметричны относительно начала координат $(0, 0)$. Следовательно, весь график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.