Номер 5.5, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.5. Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества D(y) на множество E(y):

1) $y = 2x + 1;$ 2) $y = |x|;$ 3) $y = \sqrt{x}?$

Взаимно однозначное отображение множества $D(y)$ (область определения) на множество $E(y)$ (область значений) — это такое отображение, при котором каждому элементу из $E(y)$ соответствует ровно один элемент из $D(y)$. Такое отображение также называют биекцией. По определению, любая функция является отображением «на» свою область значений $E(y)$ (это свойство называется сюръективностью). Следовательно, для того чтобы отображение было взаимно однозначным, оно должно быть инъективным. Инъективность означает, что разным значениям аргумента $x$ соответствуют разные значения функции $y$. То есть, если $x_1 \ne x_2$, то $y(x_1) \ne y(x_2)$.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

1) $y = 2x + 1$;

Это линейная функция. Её область определения $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(y)$ также является множеством всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
Проверим эту функцию на инъективность. Предположим, что для двух аргументов $x_1$ и $x_2$ значения функции равны: $y(x_1) = y(x_2)$.
$2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$
$2x_1 = 2x_2$
$x_1 = x_2$
Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, функция является инъективной. Следовательно, она является взаимно однозначным отображением своего множества определения на множество значений.

2) $y = |x|$;

Это функция модуля. Её область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$, а область значений $E(y) = [0, +\infty)$.
Проверим эту функцию на инъективность. Найдём два различных аргумента, для которых значения функции совпадают. Например, возьмём $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
$y(-2) = |-2| = 2$
$y(2) = |2| = 2$
Поскольку $x_1 \ne x_2$, но при этом $y(x_1) = y(x_2)$, функция не является инъективной. Следовательно, она не является взаимно однозначным отображением.

3) $y = \sqrt{x}$?

Это функция арифметического квадратного корня. Её область определения $D(y)$ — это множество всех неотрицательных действительных чисел, $D(y) = [0, +\infty)$. Область значений $E(y)$ также состоит из всех неотрицательных действительных чисел, $E(y) = [0, +\infty)$.
Проверим эту функцию на инъективность. Предположим, что для двух аргументов $x_1, x_2$ из области определения, значения функции равны: $y(x_1) = y(x_2)$.
$\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$
Возводя обе части равенства в квадрат, получаем:
$x_1 = x_2$
Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, функция является инъективной. Следовательно, она также является взаимно однозначным отображением.

Таким образом, две из предложенных функций, $y = 2x + 1$ и $y = \sqrt{x}$, удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $y=2x+1$ и $y=\sqrt{x}$.