Номер 5.6, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.6. Найдите нули функции:

1) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$;

2) $y = x\sqrt{x-1}$;

3) $y = |x|-x$;

4) $y = \{x\}$;

5) $y = \mathfrak{D}(x)$.

1) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1} = 0$

Прежде всего, найдем область определения функции (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $\sqrt{x-1} = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Это значение принадлежит ОДЗ.

б) $\sqrt{x+1} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Это значение не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 1$.

Следовательно, единственным нулем функции является $x = 1$.

Ответ: 1.

2) $y = x\sqrt{x-1}$

Приравниваем функцию к нулю: $x\sqrt{x-1} = 0$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $x = 0$.

Это значение не принадлежит ОДЗ, так как $0 < 1$.

б) $\sqrt{x-1} = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Это значение принадлежит ОДЗ.

Следовательно, единственным нулем функции является $x = 1$.

Ответ: 1.

3) $y = |x| - x$

Приравниваем функцию к нулю: $|x| - x = 0$, что эквивалентно $|x| = x$.

Область определения функции – все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

По определению модуля числа, равенство $|x| = x$ выполняется для всех неотрицательных чисел.

Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $x - x = 0$, что верно для любого $x \ge 0$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $-x - x = 0$, или $-2x=0$, откуда $x=0$. Но это противоречит условию $x < 0$.

Таким образом, нулями функции являются все числа из промежутка $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

4) $y = \{x\}$

Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ – целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Приравниваем функцию к нулю: $\{x\} = 0$.

Это означает, что $x - \lfloor x \rfloor = 0$, или $x = \lfloor x \rfloor$.

Равенство $x = \lfloor x \rfloor$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является целым числом.

Следовательно, нулями функции являются все целые числа.

Ответ: $\mathbb{Z}$ (множество всех целых чисел).

5) $y = \mathcal{D}(x)$

Функция $\mathcal{D}(x)$ – это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:

$\mathcal{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ – рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ – иррациональное число } (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

Нам нужно найти значения $x$, при которых $y = \mathcal{D}(x) = 0$.

Согласно определению функции Дирихле, это условие выполняется для всех иррациональных чисел.

Ответ: множество всех иррациональных чисел ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).