Номер 5.8, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.8. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x - 1}$;

2) $y = |x + 1|$;

3) $y = \sqrt{x(x - 1)^2}$;

4) $y = \{x\}$.

1) $y = \sqrt{x - 1}$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо определить, на каких интервалах функция принимает положительные значения ($y > 0$), а на каких — отрицательные ($y < 0$).

Сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Область определения $D(y) = [1, +\infty)$.

По определению, арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, то есть $y = \sqrt{x - 1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, у функции нет промежутков, где она отрицательна.

Найдём промежутки, где функция строго положительна ($y > 0$):
$\sqrt{x - 1} > 0$
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Таким образом, функция положительна на интервале $(1, +\infty)$.

В точке $x=1$ функция обращается в ноль: $y(1) = \sqrt{1-1} = 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

2) $y = |x + 1|$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Функция модуля всегда принимает неотрицательные значения: $y = |x + 1| \ge 0$. Следовательно, у функции нет промежутков, где она отрицательна.

Найдём промежутки, где функция строго положительна ($y > 0$):
$|x + 1| > 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых выражение под модулем равно нулю.
$x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Таким образом, функция положительна на объединении интервалов $(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

В точке $x=-1$ функция обращается в ноль: $y(-1) = |-1+1| = 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

3) $y = \sqrt{x(x - 1)^2}$

Сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$x(x - 1)^2 \ge 0$.
Поскольку $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$, знак всего выражения определяется знаком множителя $x$. Следовательно, неравенство выполняется при $x \ge 0$.
Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Как и в предыдущих случаях, арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому $y \ge 0$ на всей области определения. Промежутков, где $y < 0$, нет.

Найдём промежутки, где функция строго положительна ($y > 0$):
$\sqrt{x(x - 1)^2} > 0$
$x(x - 1)^2 > 0$
Это неравенство выполняется, когда оба множителя положительны и не равны нулю: $x > 0$ и $(x-1)^2 > 0$. Второе условие выполняется для всех $x \ne 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x \ne 1$, получаем, что функция положительна при $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Функция обращается в ноль при $x=0$ и $x=1$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

4) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

По определению дробной части, её значения всегда находятся в полуинтервале $[0, 1)$, то есть $0 \le \{x\} < 1$. Следовательно, функция всегда неотрицательна, и промежутков, где $y < 0$, нет.

Функция строго положительна ($y > 0$), когда $x$ не является целым числом. Если $x$ — целое число ($x \in \mathbb{Z}$), то $\{x\} = 0$. Если $x$ не является целым числом ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$), то $\{x\} > 0$.

Множество всех нецелых чисел можно представить как объединение интервалов между последовательными целыми числами.

Ответ: $y > 0$ для всех нецелых $x$, то есть при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (k, k+1)$; промежутков, где $y < 0$, нет.