Номер 5.14, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.14. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x-1}{x-1};$

2) $y = \frac{x^2-1}{x^2-1};$

3) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1};$

4) $y = x\mathfrak{D}(x).$

1) $y = \frac{x-1}{x-1}$

Для исследования функции на чётность необходимо выполнить два условия:
1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ (функция чётная);
- $f(-x) = -f(x)$ (функция нечётная).

Найдём область определения данной функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Проверим область определения на симметричность. Возьмём точку $x = -1$, она принадлежит $D(y)$. Однако, симметричная ей точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит $D(y)$.
Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, первое условие не выполняется. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

2) $y = \frac{x^2-1}{x^2-1}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что равносильно $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность. Если $x \in D(y)$, то $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Тогда и $-x \neq -1$ и $-x \neq 1$, следовательно, $-x$ также принадлежит области определения $D(y)$. Область определения симметрична.

3. Проверим выполнение условия чётности. Обозначим функцию как $f(x)$.
Для любого $x$ из $D(y)$, значение функции равно $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1} = 1$.
Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2-1} = \frac{x^2-1}{x^2-1} = 1$.

Сравнивая $f(x)$ и $f(-x)$, получаем $f(-x) = 1 = f(x)$.
Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

1. Найдём область определения функции. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases}$
Решая её, получаем:
$\begin{cases} x \geq 1 \\ x \geq -1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \geq 1$.
Область определения $D(y) = [1; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность. Область $D(y) = [1; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=2$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $-x = -2$ не принадлежит.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

4) $y = x \mathfrak{D}(x)$

В этой задаче $\mathfrak{D}(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число } (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

1. Найдём область определения функции $f(x) = x \mathfrak{D}(x)$. Функция определена для всех действительных чисел $x$, поэтому область определения $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ является симметричной относительно нуля.

3. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (-x) \mathfrak{D}(-x)$.
Рассмотрим два возможных случая для $x$:
а) $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$). Тогда $-x$ тоже рациональное число, и $\mathfrak{D}(x) = 1$, $\mathfrak{D}(-x) = 1$.
$f(x) = x \cdot 1 = x$.
$f(-x) = (-x) \cdot 1 = -x$.
В этом случае $f(-x) = -f(x)$.
б) $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$). Тогда $-x$ тоже иррациональное число, и $\mathfrak{D}(x) = 0$, $\mathfrak{D}(-x) = 0$.
$f(x) = x \cdot 0 = 0$.
$f(-x) = (-x) \cdot 0 = 0$.
В этом случае также выполняется $f(-x) = -f(x)$, так как $-f(x) = -0 = 0$.

Поскольку равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется для всех действительных чисел (как рациональных, так и иррациональных), функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.