Номер 5.9, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.9. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x} + 2$;

2) $y = |x^2 - 4|$;

3) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}$;

4) $y = [x]$.

1) $y = \sqrt{x} + 2$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения значение $\sqrt{x}$ является неотрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Следовательно, значение функции $y = \sqrt{x} + 2$ будет всегда больше или равно 2, так как $\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Поскольку $y \ge 2$ на всей области определения, функция всегда положительна. Промежутков, где функция отрицательна или равна нулю, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in [0, +\infty)$.

2) $y = |x^2 - 4|$

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как выражение $x^2 - 4$ определено для любого $x$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной, поэтому $y = |x^2 - 4| \ge 0$ для всех значений $x$.

Найдем значения $x$, при которых функция равна нулю. Это происходит, когда выражение под знаком модуля равно нулю:
$x^2 - 4 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Отсюда, $x = -2$ и $x = 2$ — нули функции.

Во всех остальных точках области определения функция будет строго положительной, так как $|x^2 - 4| > 0$, если $x^2 - 4 \neq 0$.

Таким образом, функция положительна при всех $x$, кроме $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

3) $y = \sqrt{(x-1)(x-3)^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$(x-1)(x-3)^2 \ge 0$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$) при любом $x$. Оно равно нулю при $x=3$.
Таким образом, знак всего произведения зависит от знака множителя $(x-1)$.
Неравенство выполняется, если:
а) $x-1 \ge 0$, так как произведение неотрицательного и неотрицательного числа неотрицательно. Отсюда $x \ge 1$.
б) Точка $x=3$ также является решением, так как при $x=3$ все выражение обращается в ноль, что удовлетворяет условию $\ge 0$.
Объединив эти условия, получаем область определения $D(y) = [1, +\infty)$.

Значение функции $y$, как квадратного корня, всегда неотрицательно: $y \ge 0$.

Найдем нули функции: $y=0$, когда подкоренное выражение равно нулю:
$(x-1)(x-3)^2 = 0$
Это верно при $x=1$ и при $x=3$.

Функция строго положительна ($y>0$), когда подкоренное выражение строго положительно:
$(x-1)(x-3)^2 > 0$.
Это требует, чтобы $x-1 > 0$ и $(x-3)^2 > 0$, то есть $x > 1$ и $x \neq 3$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

4) $y = [x]$

Функция $y = [x]$ (целая часть числа $x$ или "пол") сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим, при каких значениях $x$ функция принимает положительные, отрицательные и нулевые значения.

1. Функция положительна ($y > 0$):
Это означает, что $[x] \ge 1$. По определению целой части, это неравенство выполняется для всех $x$, которые больше или равны 1.
Следовательно, $y > 0$ при $x \in [1, +\infty)$.

2. Функция отрицательна ($y < 0$):
Это означает, что $[x] \le -1$. По определению целой части, это неравенство выполняется для всех $x$, которые меньше 0.
Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

3. Функция равна нулю ($y = 0$):
Это означает, что $[x] = 0$. По определению, это выполняется для всех $x$ таких, что $0 \le x < 1$. На этом промежутке функция не является знакопостоянной (она равна нулю).

Промежутками знакопостоянства являются те, где функция строго больше или строго меньше нуля.

Ответ: $y > 0$ при $x \in [1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.