Номер 5.12, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функция $y = f(x)$ является чётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Для функции $f(x) = -3x^2 + |x| - 1$:

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:
$f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| - 1$.
Поскольку $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$, получаем:
$f(-x) = -3x^2 + |x| - 1 = f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

Для функции $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}$:

1. Найдём область определения $D(f)$. Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ \sqrt{1-x} - \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases}$
Из первых двух неравенств следует, что $x \le 1$ и $x \ge -1$, то есть $x \in [-1; 1]$.
Из условия неравенства знаменателя нулю следует $\sqrt{1-x} \neq \sqrt{x+1}$, что равносильно $1-x \neq x+1$, откуда $2x \neq 0$, то есть $x \neq 0$.
Таким образом, область определения $D(f) = [-1; 0) \cup (0; 1]$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)} - \sqrt{-x+1}} = \frac{-x^3}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}$.
Вынесем знак "-" из знаменателя:
$f(-x) = \frac{-x^3}{-(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x})} = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}} = f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5}$:

1. Найдём область определения $D(f)$. Выражения под корнем должны быть неотрицательными.
Для квадратного трёхчлена $x^2 - 3x + 5$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то $x^2 - 3x + 5 > 0$ для всех действительных $x$.
Для квадратного трёхчлена $x^2 + 3x + 5$ дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то $x^2 + 3x + 5 > 0$ для всех действительных $x$.
Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 3(-x) + 5} + \sqrt{(-x)^2 + 3(-x) + 5}$
$f(-x) = \sqrt{x^2 + 3x + 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 5}$.
В силу коммутативности сложения, это выражение равно исходному:
$f(-x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5} = f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

Для функции $f(x) = (x+2)|x-4| - (x-2)|x+4|$:

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = f(x)$:
$f(-x) = ((-x)+2)|(-x)-4| - ((-x)-2)|(-x)+4|$
$f(-x) = (2-x)|-(x+4)| - (-(x+2))|4-x|$.
Используя свойства модуля $|-a| = |a|$ и $|b-a| = |a-b|$, получаем:
$f(-x) = (2-x)|x+4| + (x+2)|x-4|$.
Вынесем минус за скобки в выражении $(2-x)$ и переставим слагаемые:
$f(-x) = -(x-2)|x+4| + (x+2)|x-4| = (x+2)|x-4| - (x-2)|x+4| = f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.