Номер 5.7, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.7. Найдите нули функции:

1) $y = |x| + x;$

2) $y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}};$

3) $y = [x];$

4) $y = x\mathfrak{D}(x).$

1) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для нахождения нулей функции $y = |x| + x$ необходимо решить уравнение $|x| + x = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x + x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Полученное значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является корнем уравнения.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x + x = 0$
$0 = 0$
Это верное тождество, которое означает, что решением уравнения являются все значения $x$, удовлетворяющие условию $x < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что нулями функции являются все неположительные числа, то есть $x \le 0$.
Ответ: $(-\infty, 0]$.

2) Чтобы найти нули функции $y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}$, приравняем ее к нулю:
$\frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}} = 0$
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Так как подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, имеем:
$x - 2 > 0 \implies x > 2$
ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3, x_2 = -3$
Проверим, входят ли найденные корни в область определения функции:
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x > 2$, значит, это нуль функции.
$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x > 2$, значит, это посторонний корень.
Ответ: $3$.

3) Функция $y = [x]$ — это целая часть числа $x$ (антье), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Чтобы найти нули этой функции, решим уравнение:
$[x] = 0$
Согласно определению целой части числа, это равенство означает, что 0 является наибольшим целым числом, которое меньше или равно $x$. Это условие выполняется для всех $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству:
$0 \le x < 1$
Следовательно, нулями функции являются все числа из полуинтервала $[0, 1)$.
Ответ: $[0, 1)$.

4) Функция $\mathfrak{D}(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$
Для нахождения нулей функции $y = x\mathfrak{D}(x)$ решим уравнение:
$x\mathfrak{D}(x) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:
а) Первый множитель равен нулю: $x = 0$.
Проверим это значение. Число 0 является рациональным, поэтому $\mathfrak{D}(0) = 1$. Тогда $y = 0 \cdot \mathfrak{D}(0) = 0 \cdot 1 = 0$. Значит, $x = 0$ является нулем функции.
б) Второй множитель равен нулю: $\mathfrak{D}(x) = 0$.
По определению функции Дирихле, это равенство выполняется для всех иррациональных чисел $x$. Для любого иррационального числа $x$ имеем $y = x \cdot 0 = 0$. Таким образом, все иррациональные числа являются нулями функции.
Объединяя результаты, получаем, что нули функции — это $x=0$ и все иррациональные числа.
Ответ: $0$ и все иррациональные числа.