Номер 5.4, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.4. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 3;$

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x};$

3) $f(x) = (\sqrt{x})^2.$

1) $f(x) = x^2 + 3$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \geq 0$.
Минимальное значение выражения $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.
Соответственно, минимальное значение для всей функции $f(x) = x^2 + 3$ будет $0 + 3 = 3$.
Поскольку $x^2$ может быть сколь угодно большим, функция $f(x)$ не имеет максимального значения и может принимать любые значения, большие или равные 3.
Таким образом, область значений функции — это промежуток от 3, включая 3, до плюс бесконечности.
Ответ: $[3; +\infty)$.

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x}$

Сначала определим область определения функции. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, то $x \geq 0$.
Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \geq 0$.
Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $-\sqrt{x} \leq 0$.
Теперь прибавим 6 к обеим частям неравенства: $6 - \sqrt{x} \leq 6$.
Таким образом, $f(x) \leq 6$. Это означает, что максимальное значение функции равно 6. Оно достигается при $\sqrt{x}=0$, то есть при $x=0$.
Поскольку $x$ может быть сколь угодно большим, $\sqrt{x}$ также может быть сколь угодно большим, а значит выражение $6 - \sqrt{x}$ может принимать сколь угодно малые значения (стремится к $-\infty$).
Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 6.
Ответ: $(-\infty; 6]$.

3) $f(x) = (\sqrt{x})^2$

Область определения данной функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \geq 0$.
Для всех $x$ из области определения (т.е. для всех $x \geq 0$) справедливо тождество $(\sqrt{x})^2 = x$.
Таким образом, задача сводится к нахождению области значений функции $f(x) = x$ при условии, что ее аргумент $x$ принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.
Если $x$ может принимать любое неотрицательное значение, то и значение функции $f(x)$, которое равно $x$, также будет принимать любое неотрицательное значение.
Значит, область значений функции — это все числа, большие или равные 0.
Ответ: $[0; +\infty)$.