Номер 5.3, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.3. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = 5 - x^2$;

2) $f(x) = |x + 2| + 2$;

3) $f(x) = \sqrt{-x^2}$.

1) $f(x) = 5 - x^2$

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y=f(x)$.

Рассмотрим слагаемое $x^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-x^2$ будет всегда неположительным. Умножив предыдущее неравенство на -1, получим: $-x^2 \le 0$.

Теперь прибавим 5 к обеим частям неравенства: $5 - x^2 \le 5$.

Это означает, что $f(x) \le 5$. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при $x=0$. Поскольку $x^2$ может принимать сколь угодно большие значения, $-x^2$ может принимать сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) значения. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до 5 включительно.

Ответ: $(-\infty; 5]$

2) $f(x) = |x + 2| + 2$

Рассмотрим слагаемое $|x + 2|$. По определению, модуль (абсолютное значение) любого выражения всегда неотрицателен, то есть $|x + 2| \ge 0$.

Прибавив 2 к обеим частям этого неравенства, получим: $|x + 2| + 2 \ge 2$.

Это означает, что $f(x) \ge 2$. Наименьшее значение функции равно 2 и достигается тогда, когда выражение под модулем равно нулю: $x+2=0$, то есть при $x=-2$. Поскольку $|x + 2|$ может принимать сколь угодно большие значения, у функции нет наибольшего значения.

Таким образом, область значений функции — это все числа от 2 включительно до $+\infty$.

Ответ: $[2; +\infty)$

3) $f(x) = \sqrt{-x^2}$

Сначала найдем область определения данной функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть: $-x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 \le 0$.

В то же время мы знаем, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен: $x^2 \ge 0$.

Единственное число, которое одновременно удовлетворяет условиям $x^2 \le 0$ и $x^2 \ge 0$, это $x^2 = 0$. Отсюда следует, что $x=0$.

Таким образом, область определения функции состоит из единственной точки $x=0$. Чтобы найти область значений, подставим это значение в функцию:

$f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$.

Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит только из одного этого значения.

Ответ: $\{0\}$