Номер 5.13, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.13. Докажите, что функция является нечётной:

1) $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x};$

2) $g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x}};$

3) $g(x) = \frac{|4x-1| - |4x+1|}{x^4-1};$

4) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}.$

Функция $g(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(g)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(g)$, то и $-x \in D(g)$), и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$. Проверим выполнение этих условий для каждой функции.

1) Дана функция $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 2+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$
Следовательно, $D(g) = [-2, 2]$. Эта область симметрична относительно начала координат, так как для любого $x \in [-2, 2]$ также и $-x \in [-2, 2]$.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
$g(-x) = \sqrt{2-(-x)} - \sqrt{2+(-x)} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
$-g(x) = -(\sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}) = -\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Дана функция $g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x}}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} 3-x \ge 0 \\ 3+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies x \in [-3, 3]$.
$\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x} \neq 0 \implies \sqrt{3-x} \neq \sqrt{3+x} \implies 3-x \neq 3+x \implies 2x \neq 0 \implies x \neq 0$.
Следовательно, $D(g) = [-3, 0) \cup (0, 3]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
$g(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{3-(-x)} - \sqrt{3+(-x)}} = \frac{x^2}{\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x}}$.
Вынесем знак минус из знаменателя:
$g(-x) = \frac{x^2}{-(\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x})} = -\frac{x^2}{\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x}} = -g(x)$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Дана функция $g(x) = \frac{|4x-1| - |4x+1|}{x^4 - 1}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^4 - 1 \neq 0 \implies (x^2-1)(x^2+1) \neq 0 \implies (x-1)(x+1)(x^2+1) \neq 0$.
Так как $x^2+1 > 0$ для всех $x$, то $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Следовательно, $D(g) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
$g(-x) = \frac{|4(-x)-1| - |4(-x)+1|}{(-x)^4 - 1} = \frac{|-4x-1| - |-4x+1|}{x^4 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$g(-x) = \frac{|-(4x+1)| - |-(4x-1)|}{x^4 - 1} = \frac{|4x+1| - |4x-1|}{x^4 - 1}$.
Вынесем знак минус из числителя:
$g(-x) = \frac{-(|4x-1| - |4x+1|)}{x^4 - 1} = -\frac{|4x-1| - |4x+1|}{x^4 - 1} = -g(x)$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

4) Дана функция $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Знаменатели не должны быть равны нулю.
Для знаменателя $x^2-x+1$: дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2-x+1 > 0$ для всех $x$.
Для знаменателя $x^2+x+1$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2+x+1 > 0$ для всех $x$.
Следовательно, $D(g) = (-\infty, \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
Для удобства приведем выражение для $g(x)$ к общему знаменателю:
$g(x) = \frac{(3x+2)(x^2+x+1) + (3x-2)(x^2-x+1)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(3x+2)(x^2+x+1) = 3x^3+3x^2+3x+2x^2+2x+2 = 3x^3+5x^2+5x+2$.
$(3x-2)(x^2-x+1) = 3x^3-3x^2+3x-2x^2+2x-2 = 3x^3-5x^2+5x-2$.
Сложим выражения:
$(3x^3+5x^2+5x+2) + (3x^3-5x^2+5x-2) = 6x^3+10x$.
Знаменатель равен $(x^2+1-x)(x^2+1+x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = x^4+x^2+1$.
Таким образом, $g(x) = \frac{6x^3+10x}{x^4+x^2+1}$.
Теперь найдём $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{6(-x)^3+10(-x)}{(-x)^4+(-x)^2+1} = \frac{-6x^3-10x}{x^4+x^2+1} = -\frac{6x^3+10x}{x^4+x^2+1} = -g(x)$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.