Номер 5.16, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.16. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\sqrt{|x|}-1} + \sqrt{x+4};$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2(x+3)}};$

3) $y = \sqrt{(x+4)^2(x-3)}.$

1) $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых оба слагаемых функции имеют смысл. Найдем область определения для каждого слагаемого.

Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{|x| - 1}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$|x| - 1 > 0$

$|x| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности $x < -1$ или $x > 1$. Таким образом, область определения для первого слагаемого: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Для второго слагаемого $\sqrt{x + 4}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 4 \ge 0$

$x \ge -4$

Область определения для второго слагаемого: $[-4, \infty)$.

Область определения всей функции является пересечением найденных областей: $D(y) = ((-\infty, -1) \cup (1, \infty)) \cap [-4, \infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $[-4, -1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $[-4, -1) \cup (1, \infty)$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2(x+3)}}$

Область определения функции определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$(x+1)^2(x+3) > 0$

Множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -1$ и положителен при $x \neq -1$. Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы оба множителя были положительны и не равны нулю. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: $x+3 > 0$ и $(x+1)^2 \neq 0$.

Из первого условия получаем $x > -3$. Из второго условия получаем $x \neq -1$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть больше -3, но не равен -1.

Ответ: $(-3, -1) \cup (-1, \infty)$

3) $y = \sqrt{(x+4)^2(x-3)}$

Область определения функции определяется условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(x+4)^2(x-3) \ge 0$

Множитель $(x+4)^2$ всегда неотрицателен для любого значения $x$. Поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $(x+4)^2 = 0$. Это происходит при $x = -4$. Неравенство превращается в $0 \cdot (-7) \ge 0$, что является верным ($0 \ge 0$). Значит, $x = -4$ входит в область определения.

Случай 2: $(x+4)^2 > 0$. Это верно для всех $x \neq -4$. В этом случае, чтобы всё произведение было неотрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был неотрицателен: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что в область определения входят точка $x=-4$ и промежуток $[3, \infty)$.

Ответ: $\{-4\} \cup [3, \infty)$