Номер 5.15, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.15. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2}$;

2) $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$;

3) $y = \sqrt{|x| + 1}(x - 3)$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2}$ находится из системы условий:

$\begin{cases} 4 - |x| \ge 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Первое условие связано с тем, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Второе — с тем, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Решим первое неравенство:
$4 - |x| \ge 0$
$|x| \le 4$
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$, что соответствует промежутку $x \in [-4, 4]$.

Решим второе условие:
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение решений этих двух условий. То есть, из отрезка $[-4, 4]$ нужно исключить точку $x = -2$.
В результате получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = [-4, -2) \cup (-2, 4]$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ задается системой условий:

$\begin{cases} |x| - 3 \ge 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Первое условие: выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным. Второе условие: выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень находится в знаменателе).

Решим первое неравенство:
$|x| - 3 \ge 0$
$|x| \ge 3$
Это неравенство эквивалентно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Решением является промежуток $(-1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap (-1, \infty)$.
При пересечении промежутка $(-1, \infty)$ с $(-\infty, -3]$ получаем пустое множество.
При пересечении промежутка $(-1, \infty)$ с $[3, \infty)$ получаем $[3, \infty)$.
Таким образом, итоговое решение — это промежуток $[3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = [3, \infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{|x + 1|(x - 3)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$|x + 1|(x - 3) \ge 0$.

Множитель $|x + 1|$ является неотрицательным при любых действительных значениях $x$, то есть $|x + 1| \ge 0$.

Рассмотрим два случая, при которых произведение будет неотрицательным:

1. Один из множителей равен нулю. Выражение равно нулю, если $|x + 1| = 0$ или $x - 3 = 0$.
Из $|x + 1| = 0$ следует $x = -1$.
Из $x - 3 = 0$ следует $x = 3$.
При этих значениях $x$ неравенство $0 \ge 0$ выполняется, значит, точки $x = -1$ и $x = 3$ входят в область определения.

2. Оба множителя строго положительны.
$|x + 1| > 0$ при $x \neq -1$.
$x - 3 > 0$ при $x > 3$.
Пересечением этих условий является $x > 3$.

Объединяя все найденные решения (точку $x = -1$, точку $x = 3$ и интервал $x > 3$), получаем множество, состоящее из изолированной точки и числового луча.

Ответ: $D(y) = \{ -1 \} \cup [3, \infty)$.