Номер 4.4, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.4. На множестве $R$ заданы предикаты $P(x) \equiv \{x \neq 5\}$, $Q(x) \equiv \{x \neq -2\}$.

Укажите область истинности предиката:

1) $P(x) \wedge Q(x)$

2) $P(x) \vee Q(x)$

Для решения задачи определим области истинности (множества, на которых предикаты истинны) для заданных предикатов $P(x)$ и $Q(x)$ на множестве действительных чисел $R$.

Область истинности предиката $P(x) \equiv \{x \neq 5\}$, обозначим ее $T_P$, представляет собой множество всех действительных чисел, кроме 5. $T_P = \{x \in R \mid x \neq 5\} = R \setminus \{5\}$.

Область истинности предиката $Q(x) \equiv \{x \neq -2\}$, обозначим ее $T_Q$, представляет собой множество всех действительных чисел, кроме -2. $T_Q = \{x \in R \mid x \neq -2\} = R \setminus \{-2\}$.

1) $P(x) \land Q(x)$;

Предикат $P(x) \land Q(x)$ (конъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинны оба предиката $P(x)$ и $Q(x)$ одновременно. Это соответствует одновременному выполнению условий $x \neq 5$ и $x \neq -2$.

Область истинности конъюнкции предикатов является пересечением их областей истинности: $T_{P \land Q} = T_P \cap T_Q = (R \setminus \{5\}) \cap (R \setminus \{-2\})$.

Пересечение этих множеств — это множество всех действительных чисел, за исключением чисел -2 и 5. Таким образом, область истинности равна $R \setminus \{-2, 5\}$.
Ответ: $R \setminus \{-2, 5\}$.

2) $P(x) \lor Q(x)$;

Предикат $P(x) \lor Q(x)$ (дизъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $P(x)$ или $Q(x)$. Это соответствует выполнению хотя бы одного из условий: $x \neq 5$ или $x \neq -2$.

Область истинности дизъюнкции предикатов является объединением их областей истинности: $T_{P \lor Q} = T_P \cup T_Q = (R \setminus \{5\}) \cup (R \setminus \{-2\})$.

Данный предикат будет ложным только в том случае, когда ложны оба исходных утверждения. Ложность $P(x)$ означает $x=5$, а ложность $Q(x)$ означает $x=-2$. Для того чтобы дизъюнкция $P(x) \lor Q(x)$ была ложной, необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $x=5$ и $x=-2$, что невозможно.

Следовательно, предикат $P(x) \lor Q(x)$ истинен для любого действительного числа $x$. Его область истинности — всё множество действительных чисел $R$.
Ответ: $R$.