gdz.top
Номер 3.14, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 3. Высказывания и операции над ними - номер 3.14, страница 30.
№3.13
№3.14 (с. 30)
Условие. №3.14 (с. 30)
3.14. Докажите, что логическое выражение является тавтологией:
1) $A \Rightarrow A$;
2) $A \wedge \overline{A}$;
3) $A \wedge \overline{A} \Rightarrow B$;
4) $A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$;
5) $(A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)$;
6) $A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$;
7) $\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}$;
8) $((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$.
Решение. №3.14 (с. 30)
Для доказательства того, что логическое выражение является тавтологией, необходимо показать, что оно истинно при любых значениях входящих в него переменных. Мы будем использовать таблицы истинности или равносильные логические преобразования. В таблицах истинности будем использовать 1 для "Истина" и 0 для "Ложь".
1) $A \Rightarrow \overline{\overline{A}}$Данное выражение основано на законе двойного отрицания, согласно которому $\overline{\overline{A}} \equiv A$. Таким образом, исходное выражение эквивалентно $A \Rightarrow A$.
Докажем, что $A \Rightarrow A$ является тавтологией, составив таблицу истинности:
| $A$ | $A \Rightarrow A$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
Поскольку результат всегда равен 1 (Истина), выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
2) $\overline{A \wedge \overline{A}}$Это выражение является законом непротиворечия. Выражение $A \wedge \overline{A}$ всегда ложно (противоречие). Отрицание лжи всегда является истиной. Докажем это с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $\overline{A}$ | $A \wedge \overline{A}$ | $\overline{A \wedge \overline{A}}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
Последний столбец содержит только единицы, следовательно, выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
3) $A \wedge \overline{A} \Rightarrow B$Это выражение известно как "принцип взрыва" (ex falso quodlibet), согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение. Выражение $A \wedge \overline{A}$ является противоречием и всегда ложно (равно 0).
Рассмотрим импликацию $P \Rightarrow Q$. Она ложна только в одном случае: когда $P$ истинно, а $Q$ ложно. В нашем случае посылка $A \wedge \overline{A}$ всегда ложна. Когда посылка импликации ложна, вся импликация истинна, независимо от значения следствия $B$.
Проверим это с помощью таблицы истинности:
| $A$ | $B$ | $\overline{A}$ | $A \wedge \overline{A}$ | $(A \wedge \overline{A}) \Rightarrow B$ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Результат всегда истинен, что подтверждает, что выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
4) $A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$Составим таблицу истинности для данного выражения.
| $A$ | $B$ | $B \Rightarrow A$ | $A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Так как последний столбец таблицы истинности содержит только единицы, выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
5) $(A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)$Составим таблицу истинности.
| $A$ | $B$ | $A \Rightarrow B$ | $B \Rightarrow A$ | $(A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)$ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Результат всегда истинен, следовательно, выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
6) $A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$Это правило вывода называется Modus Ponens. Докажем его с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $A \Rightarrow B$ | $A \wedge (A \Rightarrow B)$ | $(A \wedge (A \Rightarrow B)) \Rightarrow B$ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Последний столбец содержит только единицы, значит, выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
7) $\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}$Это правило вывода называется Modus Tollens. Докажем его с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $A \Rightarrow B$ | $\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B)$ | $(\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B)) \Rightarrow \overline{A}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат в последнем столбце всегда истинен, что доказывает, что выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
8) $((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$Это правило вывода называется "закон транзитивности импликации" или "гипотетический силлогизм". Для доказательства составим таблицу истинности для трех переменных $A, B, C$.
| $A$ | $B$ | $C$ | $A \Rightarrow B$ | $B \Rightarrow C$ | $(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)$ | $A \Rightarrow C$ | $((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Последний столбец таблицы содержит только единицы, следовательно, данное логическое выражение является тавтологией.
Ответ: Выражение является тавтологией.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.14 расположенного на странице 30 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.14 (с. 30), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.