Номер 3.12, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.12. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.2. Рассмотрим высказывания:

$A = \{\text{элемент m цепи функционирует нормально}\};$

$B = \{\text{элемент n цепи функционирует нормально}\}.$

Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности $f$:

1) $f (\overline{A} \wedge \overline{B}) = 1;$ 2) $f (\overline{A} \vee B) = 0;$ 3) $f (A \wedge B) = 1.$

Рис. 3.2

Для того чтобы определить, является ли цепь замкнутой, необходимо сначала определить логическую функцию, описывающую ее состояние. На рисунке 3.2 показана электрическая цепь с последовательным соединением элементов $m$ и $n$. Такая цепь будет проводить ток (будет замкнутой) только в том случае, если оба элемента функционируют нормально.

Пусть $A$ — высказывание "элемент $m$ функционирует нормально", а $B$ — "элемент $n$ функционирует нормально". Тогда условие, что цепь замкнута, соответствует истинности высказывания $A \land B$ (логическое "И"). То есть, цепь замкнута, если $f(A \land B) = 1$.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) $f(\bar{A} \land \bar{B}) = 1$;
Условие $f(\bar{A} \land \bar{B}) = 1$ означает, что конъюнкция (логическое "И") высказываний $\bar{A}$ и $\bar{B}$ истинна. Это возможно только тогда, когда оба высказывания истинны: $f(\bar{A}) = 1$ и $f(\bar{B}) = 1$.
Если $f(\bar{A}) = 1$, то $f(A) = 0$. Это означает, что элемент $m$ не функционирует.
Если $f(\bar{B}) = 1$, то $f(B) = 0$. Это означает, что элемент $n$ не функционирует.
Поскольку оба элемента неисправны, цепь не может быть замкнутой. Проверим значение функции для замкнутой цепи:
$f(A \land B) = f(0 \land 0) = 0$.
Поскольку $f(A \land B) = 0$, цепь не является замкнутой.
Ответ: цепь не является замкнутой.

2) $f(\bar{A} \lor B) = 0$;
Условие $f(\bar{A} \lor B) = 0$ означает, что дизъюнкция (логическое "ИЛИ") высказываний $\bar{A}$ и $B$ ложна. Это возможно только тогда, когда оба высказывания ложны: $f(\bar{A}) = 0$ и $f(B) = 0$.
Если $f(\bar{A}) = 0$, то $f(A) = 1$. Это означает, что элемент $m$ функционирует нормально.
Если $f(B) = 0$, это означает, что элемент $n$ не функционирует.
Так как для замкнутости цепи необходима исправность обоих элементов, а элемент $n$ неисправен, цепь не замкнута. Проверим значение функции:
$f(A \land B) = f(1 \land 0) = 0$.
Поскольку $f(A \land B) = 0$, цепь не является замкнутой.
Ответ: цепь не является замкнутой.

3) $f(A \land B) = 1$.
Как было установлено в начале, условие замкнутости цепи с последовательным соединением элементов как раз и описывается высказыванием $A \land B$.
В данном пункте нам прямо дано, что значение функции истинности для этого высказывания равно 1: $f(A \land B) = 1$.
Это означает, что высказывание "элемент $m$ функционирует нормально И элемент $n$ функционирует нормально" является истинным. Следовательно, цепь замкнута.
Ответ: цепь является замкнутой.