Номер 3.5, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.5. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания, причём $f(A) = 1$. Найдите, где это возможно, значение функции $f$:

1) $f(A \lor B)$;

2) $f(A \Rightarrow B)$;

3) $f(A \Leftrightarrow B)$;

4) $f(\overline{A})$.

Пусть $f$ — функция истинности, которая сопоставляет высказыванию значение $1$, если оно истинно, и $0$, если оно ложно. Нам дано, что $f(A) = 1$, то есть высказывание $A$ является истинным.

Выражение $A \lor B$ представляет собой дизъюнкцию (логическое "ИЛИ"). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно. Поскольку нам известно, что $A$ истинно ($f(A) = 1$), то результат дизъюнкции $A \lor B$ будет истинным независимо от значения истинности высказывания $B$.
Если $f(B) = 1$, то $f(A \lor B) = f(\text{истина} \lor \text{истина}) = 1$.
Если $f(B) = 0$, то $f(A \lor B) = f(\text{истина} \lor \text{ложь}) = 1$.
Таким образом, значение функции всегда равно 1.

Ответ: $f(A \lor B) = 1$.

Выражение $A \Rightarrow B$ представляет собой импликацию (логическое следование). Импликация ложна только в одном случае: когда посылка (антецедент) истинна, а следствие (консеквент) ложно. Нам дано, что посылка $A$ истинна ($f(A) = 1$). Значение истинности импликации в этом случае полностью зависит от значения истинности $B$.
Если $f(B) = 1$ (истинно), то $f(A \Rightarrow B) = f(1 \Rightarrow 1) = 1$.
Если $f(B) = 0$ (ложно), то $f(A \Rightarrow B) = f(1 \Rightarrow 0) = 0$.
Поскольку значение истинности высказывания $B$ неизвестно, однозначно определить значение $f(A \Rightarrow B)$ невозможно.

Ответ: Найти значение невозможно.

Выражение $A \Leftrightarrow B$ представляет собой эквиваленцию (равносильность). Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности. Нам дано, что $f(A) = 1$. Значение эквиваленции будет зависеть от значения $B$.
Если $f(B) = 1$, то оба высказывания истинны, и $f(A \Leftrightarrow B) = 1$.
Если $f(B) = 0$, то высказывания имеют разные значения истинности, и $f(A \Leftrightarrow B) = 0$.
Так как значение истинности $B$ не определено, найти значение $f(A \Leftrightarrow B)$ невозможно.

Ответ: Найти значение невозможно.

Выражение $\bar{A}$ представляет собой отрицание (логическое "НЕ"). Операция отрицания меняет значение истинности высказывания на противоположное. Поскольку нам дано, что высказывание $A$ истинно ($f(A) = 1$), его отрицание $\bar{A}$ будет ложным.

Ответ: $f(\bar{A}) = 0$.