Номер 2.18, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.18. На окружности отметили 100 точек: $A_1, A_2, ..., A_{100}$. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, в которых точка $A_1$ является вершиной, или тех, в которых точка $A_1$ не является вершиной?

Для ответа на этот вопрос разделим все возможные многоугольники, которые можно построить на данных 100 точках, на две группы и сравним их количество.

Многоугольники, в которых точка $A_1$ является вершиной

Пусть $N_1$ — это количество многоугольников, у которых точка $A_1$ является вершиной. Любой многоугольник должен иметь не менее 3 вершин. Так как одна вершина ($A_1$) уже зафиксирована, нам необходимо выбрать еще как минимум 2 вершины из оставшихся 99 точек ($A_2, A_3, \dots, A_{100}$).

Число способов выбрать $k$ дополнительных вершин из 99 равно числу сочетаний $C_{99}^k = \binom{99}{k}$. Мы можем выбрать от 2 до 99 дополнительных вершин. Таким образом, общее число таких многоугольников равно сумме:

$N_1 = \binom{99}{2} + \binom{99}{3} + \binom{99}{4} + \dots + \binom{99}{99}$

Здесь $\binom{99}{2}$ — это количество треугольников с вершиной $A_1$, $\binom{99}{3}$ — количество четырехугольников с вершиной $A_1$, и так далее.

Многоугольники, в которых точка $A_1$ не является вершиной

Пусть $N_2$ — это количество многоугольников, у которых точка $A_1$ не является вершиной. Все вершины таких многоугольников должны быть выбраны из множества оставшихся 99 точек $\{A_2, A_3, \dots, A_{100}\}$.

Для построения многоугольника из этого набора точек необходимо выбрать не менее 3 вершин. Общее число таких многоугольников равно сумме:

$N_2 = \binom{99}{3} + \binom{99}{4} + \dots + \binom{99}{99}$

Здесь $\binom{99}{3}$ — это количество треугольников, построенных на точках $\{A_2, \dots, A_{100}\}$, $\binom{99}{4}$ — количество четырехугольников, и так далее.

Сравнивая два полученных выражения для $N_1$ и $N_2$, мы видим, что:

$N_1 = \binom{99}{2} + \left( \binom{99}{3} + \binom{99}{4} + \dots + \binom{99}{99} \right)$

То есть, $N_1 = \binom{99}{2} + N_2$.

Поскольку число сочетаний $\binom{99}{2} = \frac{99 \cdot 98}{2} = 4851$ является положительным числом, то $N_1 > N_2$. Это означает, что многоугольников, содержащих точку $A_1$ в качестве вершины, больше, чем многоугольников, которые ее не содержат.

Ответ: Многоугольников, в которых точка $A_1$ является вершиной, больше.