Номер 2.11, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.11. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Каких прямоугольников больше: с периметром, равным 1000, или с периметром, равным 1002?

Для решения этой задачи нам необходимо найти количество различных прямоугольников с целочисленными сторонами для каждого из заданных периметров.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Количество различных прямоугольников равно количеству уникальных пар натуральных чисел $\{a, b\}$, удовлетворяющих условию. Чтобы избежать повторного подсчета одного и того же прямоугольника (например, со сторонами 3 и 4, и 4 и 3), мы будем рассматривать только упорядоченные пары $(a, b)$, где $a \le b$.

Прямоугольники с периметром, равным 1000

В этом случае периметр $P = 1000$. Подставим это значение в формулу периметра:$2(a+b) = 1000$Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму сторон:$a+b = 500$

Нам нужно найти количество пар натуральных чисел $(a, b)$, которые удовлетворяют этому уравнению при условии $a \le b$. Поскольку $a$ — натуральное число, его минимальное значение равно 1. Из условия $a \le b$ и $b = 500 - a$ следует:$a \le 500 - a$$2a \le 500$$a \le 250$

Таким образом, сторона $a$ может принимать любое целое значение от 1 до 250 включительно. Для каждого такого значения $a$ значение $b$ определяется однозначно как $b=500-a$, и при этом всегда выполняется условие $a \le b$. Количество возможных значений для $a$ равно 250. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1000 и натуральными сторонами.

Прямоугольники с периметром, равным 1002

Теперь рассмотрим случай, когда периметр $P = 1002$.$2(a+b) = 1002$Разделив обе части на 2, получим:$a+b = 501$

Аналогично первому случаю, ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих этому уравнению, при условии $a \le b$. Минимальное значение для $a$ по-прежнему равно 1. Из условия $a \le b$ и $b = 501 - a$ следует:$a \le 501 - a$$2a \le 501$$a \le 250.5$

Поскольку $a$ должно быть натуральным числом, оно может принимать любое целое значение от 1 до 250 включительно. Количество возможных значений для $a$ также равно 250. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1002 и натуральными сторонами.

Вывод

Сравнивая результаты, мы видим, что количество прямоугольников с периметром 1000 (250 штук) и количество прямоугольников с периметром 1002 (250 штук) одинаково.

Ответ: Количество прямоугольников с периметром 1000 и с периметром 1002 одинаково.