Номер 2.7, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.7. Каждому элементу множества $ \{n, n + 1, n + 2\} $, где $ n \in N $, поставили в соответствие остаток от деления этого элемента на 3. Установлено ли таким образом взаимно однозначное соответствие между множествами $ \{n, n + 1, n + 2\} $ и $ \{0, 1, 2\} $?

Для того чтобы установить, является ли соответствие между множествами $A = \{n, n + 1, n + 2\}$ и $B = \{0, 1, 2\}$ взаимно однозначным, необходимо проверить, выполнются ли два условия:

1. Каждому элементу множества $A$ соответствует ровно один элемент множества $B$.
2. Каждому элементу множества $B$ соответствует ровно один элемент множества $A$.

Соответствие устанавливается по правилу: элементу из $A$ сопоставляется его остаток от деления на 3. Множество $B$ как раз и состоит из всех возможных остатков от деления на 3.

Рассмотрим элементы множества $A$: $n, n + 1, n + 2$. Это три последовательных натуральных числа. Докажем, что их остатки от деления на 3 всегда различны.

Представим число $n$ в виде $n = 3q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток от деления $n$ на 3, причем $r$ может принимать значения $0, 1$ или $2$.

• Случай 1: Остаток от деления $n$ на 3 равен 0 ($r=0$).
  Тогда $n = 3q$.
  $n + 1 = 3q + 1$, остаток равен 1.
  $n + 2 = 3q + 2$, остаток равен 2.
  Множество остатков: $\{0, 1, 2\}$.
• Случай 2: Остаток от деления $n$ на 3 равен 1 ($r=1$).
  Тогда $n = 3q + 1$.
  $n + 1 = 3q + 2$, остаток равен 2.
  $n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1)$, остаток равен 0.
  Множество остатков: $\{1, 2, 0\}$.
• Случай 3: Остаток от деления $n$ на 3 равен 2 ($r=2$).
  Тогда $n = 3q + 2$.
  $n + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$, остаток равен 0.
  $n + 2 = 3q + 4 = 3(q + 1) + 1$, остаток равен 1.
  Множество остатков: $\{2, 0, 1\}$.

Во всех трех возможных случаях мы видим, что остатки от деления чисел $n, n+1, n+2$ на 3 являются числами $0, 1, 2$, взятыми в некотором порядке. Это означает, что остатки всех трех чисел различны.

Таким образом, каждому из трех различных элементов множества $\{n, n + 1, n + 2\}$ соответствует свой, уникальный остаток из множества $\{0, 1, 2\}$. И наоборот, каждый возможный остаток (0, 1 или 2) соответствует ровно одному числу из тройки $n, n+1, n+2$.

Следовательно, данное соответствие является взаимно однозначным.

Ответ: да, установлено взаимно однозначное соответствие.