Номер 2.10, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.10. В выпуклом $n$-угольнике ($n \ge 4$) никакие три диагонали не пересекаются¹ в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

Для доказательства установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством точек пересечения диагоналей и множеством четырехугольников, вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

1. От точки пересечения к четырехугольнику.
Рассмотрим любую точку $P$ внутри $n$-угольника, которая является точкой пересечения диагоналей. По условию задачи, никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Это означает, что через точку $P$ проходят ровно две диагонали. Пусть одна диагональ соединяет вершины $A$ и $C$, а другая — вершины $B$ и $D$. Вершины $A, B, C, D$ различны, так как в противном случае у отрезков была бы общая вершина, и они бы не пересекались внутри многоугольника. Эти четыре различные вершины $\{A, B, C, D\}$ однозначно определяют выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $P$. Таким образом, каждой точке пересечения диагоналей соответствует единственный четырехугольник, построенный на вершинах исходного $n$-угольника.

2. От четырехугольника к точке пересечения.
Теперь выберем произвольный четырехугольник, вершины которого являются вершинами данного $n$-угольника. Это эквивалентно выбору произвольных четырех вершин из $n$ имеющихся. Пусть мы выбрали вершины $V_1, V_2, V_3, V_4$. Поскольку исходный $n$-угольник является выпуклым, любой четырехугольник, образованный его вершинами, также будет выпуклым. У любого выпуклого четырехугольника есть ровно две диагонали, которые пересекаются в единственной точке внутри него. Эти диагонали также являются диагоналями исходного $n$-угольника. Следовательно, каждому четырехугольнику (т.е. каждому набору из четырех вершин) соответствует единственная точка пересечения диагоналей.

Поскольку мы установили взаимно-однозначное соответствие между множеством точек пересечения и множеством четырехугольников, количество элементов в этих множествах равно. Это доказывает, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырехугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

Ответ: Утверждение доказано. Каждой точке пересечения двух диагоналей однозначно соответствует четырехугольник, образованный четырьмя концами этих диагоналей. И наоборот, каждый четырехугольник, образованный четырьмя вершинами $n$-угольника, имеет ровно одну точку пересечения своих диагоналей. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие, и количество объектов в обоих множествах совпадает. Это число равно числу сочетаний из $n$ по 4, то есть $C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.