Страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.2. Известно, что 26 жильцов дома содержат кошек и собак, у 16 из них есть кошки, а у 15 – собаки. Сколько жильцов дома содержат и собаку, и кошку?

Для решения этой задачи используем теорию множеств и принцип включений-исключений. Пусть $A$ — это множество жильцов, которые содержат кошек, а $B$ — множество жильцов, которые содержат собак.

Из условия задачи нам известны следующие данные:
- Общее количество жильцов, у которых есть кошка или собака (или оба животных), равно 26. Это соответствует мощности объединения множеств: $|A \cup B| = 26$.
- Количество жильцов, содержащих кошек, равно 16. Это мощность множества $A$: $|A| = 16$.
- Количество жильцов, содержащих собак, равно 15. Это мощность множества $B$: $|B| = 15$.

Нам необходимо найти количество жильцов, которые содержат и собаку, и кошку. Это равно мощности пересечения множеств $A$ и $B$, то есть $|A \cap B|$.

Формула включений-исключений для двух множеств выглядит следующим образом:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Эта формула означает, что если мы просто сложим количество владельцев кошек и собак, то те, у кого есть оба питомца, будут посчитаны дважды. Чтобы получить общее число уникальных владельцев, нужно вычесть количество людей, посчитанных дважды.

Выразим из формулы искомую величину $|A \cap B|$:
$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Подставим известные значения в эту формулу:
$|A \cap B| = 16 + 15 - 26$
$|A \cap B| = 31 - 26$
$|A \cap B| = 5$

Таким образом, 5 жильцов дома содержат одновременно и собаку, и кошку.
Ответ: 5

2.3. Установлено ли взаимно однозначное соответствие между множествами $A$ и $B$ (рис. 2.6)? Точками на рисунке изображены элементы множеств.

а

б

в

г

Рис. 2.6

Взаимно однозначное соответствие (также называемое биекцией) между двумя множествами A и B установлено, если каждому элементу множества A соответствует ровно один элемент множества B, и, наоборот, каждому элементу множества B соответствует ровно один элемент множества A. Для этого необходимо, чтобы множества имели одинаковое количество элементов (одинаковую мощность), и чтобы отображение было одновременно инъективным (разным элементам из A соответствуют разные элементы из B) и сюръективным (каждый элемент B является образом какого-либо элемента A).

а) На данном рисунке каждому из трех элементов множества A соответствует ровно один уникальный элемент множества B. Также каждый из трех элементов множества B имеет соответствующий ему элемент из множества A. Мощности множеств равны: $|A| = 3$ и $|B| = 3$. Следовательно, соответствие является взаимно однозначным.
Ответ: Да, установлено.

б) Здесь, как и в предыдущем случае, каждому элементу множества A соответствует уникальный элемент из множества B, и все элементы множества B задействованы. Мощности множеств также равны: $|A| = 3$ и $|B| = 3$. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие.
Ответ: Да, установлено.

в) На этом рисунке количество элементов в множествах различается: в множестве A — 3 элемента, а в множестве B — 4 элемента ($|A| \neq |B|$). Это является достаточным условием, чтобы утверждать, что взаимно однозначное соответствие невозможно. В частности, в множестве B есть элемент (нижний), которому не соответствует ни один элемент из множества A (отображение не сюръективно).
Ответ: Нет, не установлено.

г) В этом случае количество элементов в множествах также различно: в множестве A — 3 элемента, а в множестве B — 2 элемента ($|A| \neq |B|$). Взаимно однозначное соответствие невозможно. В данном примере два элемента из множества A (верхний и средний) указывают на один и тот же элемент в множестве B (верхний), что нарушает условие инъективности.
Ответ: Нет, не установлено.

2.4. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 3.

Для установления взаимно однозначного соответствия (биекции) между двумя множествами необходимо определить правило или функцию, которая каждому элементу одного множества сопоставляет ровно один элемент другого множества, причем каждый элемент второго множества должен быть сопоставлен какому-либо элементу первого.

Пусть $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ — множество всех натуральных чисел.

Пусть $M$ — множество натуральных чисел, кратных 3. Это множество можно записать как $M = \{3, 6, 9, 12, \dots\}$.

Наша задача — найти функцию $f: N \to M$, которая является биективной.

Рассмотрим простейшее правило: поставим в соответствие первому элементу множества $N$ (числу 1) первый элемент множества $M$ (число 3), второму элементу $N$ (числу 2) — второй элемент $M$ (число 6), и так далее.

• $1 \mapsto 3$
• $2 \mapsto 6$
• $3 \mapsto 9$
• $4 \mapsto 12$
• $\dots$
• $n \mapsto 3n$

Это соответствие можно задать формулой $f(n) = 3n$, где $n \in N$.

Докажем, что эта функция $f(n) = 3n$ устанавливает взаимно однозначное соответствие. для этого нужно проверить два свойства: инъективность и сюръективность.

1. Инъективность. Функция инъективна, если разным элементам из $N$ соответствуют разные элементы из $M$.
Пусть $n_1$ и $n_2$ — два разных натуральных числа, то есть $n_1 \neq n_2$. Тогда их образы $f(n_1) = 3n_1$ и $f(n_2) = 3n_2$ также будут различны, так как из $n_1 \neq n_2$ следует $3n_1 \neq 3n_2$. Следовательно, функция инъективна.

2. Сюръективность. Функция сюръективна, если для любого элемента из $M$ найдется соответствующий ему элемент в $N$.
Возьмём произвольный элемент $m$ из множества $M$. По определению множества $M$, число $m$ кратно 3. Это значит, что существует натуральное число $k$ такое, что $m = 3k$. Это число $k = m/3$ является натуральным и принадлежит множеству $N$. Таким образом, для любого элемента $m \in M$ мы нашли прообраз $n=k \in N$ такой, что $f(n) = f(k) = 3k = m$. Следовательно, функция сюръективна.

Так как функция $f(n) = 3n$ одновременно инъективна и сюръективна, она является биекцией. Это доказывает, что между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 3, можно установить взаимно однозначное соответствие.

Ответ: Взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел ($N$) и множеством натуральных чисел, кратных 3 ($M$), устанавливается функцией $f(n) = 3n$, которая каждому натуральному числу $n \in N$ ставит в соответствие число $3n \in M$.

2.5. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $4n + 1 (n \in N)$.

Для установления взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$ и множеством чисел вида $4n+1$ (где $n \in N$), которое обозначим как $M = \{5, 9, 13, \ldots\}$, необходимо найти биективную функцию $f: N \rightarrow M$. Биекция — это отображение, которое является одновременно инъективным (разным элементам области определения соответствуют разные элементы области значений) и сюръективным (каждый элемент области значений является образом хотя бы одного элемента области определения).

Рассмотрим функцию $f(k) = 4k + 1$, которая каждому натуральному числу $k \in N$ ставит в соответствие число $4k+1$. По определению, любое число вида $4k+1$ (где $k \in N$) принадлежит множеству $M$. Таким образом, $f$ отображает $N$ в $M$.

Проверим, является ли это отображение биективным, доказав его инъективность и сюръективность.

1. Инъективность.
Пусть $k_1, k_2 \in N$ и $f(k_1) = f(k_2)$. Тогда:
$4k_1 + 1 = 4k_2 + 1$
$4k_1 = 4k_2$
$k_1 = k_2$
Это означает, что разным натуральным числам соответствуют разные числа из множества $M$. Следовательно, функция инъективна.

2. Сюръективность.
Возьмем произвольный элемент $m \in M$. По определению множества $M$, этот элемент можно представить в виде $m = 4n + 1$ для некоторого натурального числа $n \in N$. Нам нужно найти такое $k \in N$, что $f(k) = m$.
$4k + 1 = m$
$4k + 1 = 4n + 1$
$4k = 4n$
$k = n$
Поскольку $n$ — натуральное число, то и $k=n$ является натуральным числом. Это значит, что для любого элемента $m$ из множества $M$ существует прообраз $k$ в множестве $N$. Следовательно, функция сюръективна.

Так как функция $f(k) = 4k + 1$ является одновременно инъективной и сюръективной, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством чисел вида $4n+1$ ($n \in N$).

Ответ: Взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством чисел вида $4n+1$ ($n \in N$) задается функцией $f(k) = 4k+1$, где $k \in N$.

2.6. Докажите, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.

Для доказательства равномощности двух множеств необходимо установить между ними биективное соответствие (биекцию), то есть такое отображение, которое является одновременно инъективным и сюръективным.

Обозначим множество всех чётных целых чисел как $E$, а множество всех нечётных целых чисел как $O$.

• Множество чётных чисел: $E = \{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}: n = 2k\} = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$.
• Множество нечётных чисел: $O = \{m \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}: m = 2k + 1\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\}$.

Рассмотрим функцию $f: E \to O$, заданную правилом $f(n) = n + 1$.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность. Функция является инъективной, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. То есть, из $f(n_1) = f(n_2)$ должно следовать $n_1 = n_2$.
Пусть $n_1, n_2 \in E$ и $f(n_1) = f(n_2)$. По определению нашей функции, это означает, что $n_1 + 1 = n_2 + 1$. Вычитая 1 из обеих частей равенства, получаем $n_1 = n_2$. Следовательно, функция $f$ инъективна.

2. Сюръективность. Функция является сюръективной, если для любого элемента из области значений найдется элемент в области определения, который в него отображается. То есть, для любого $m \in O$ должен существовать $n \in E$ такой, что $f(n) = m$.
Пусть $m$ — произвольное нечётное число из множества $O$. Мы ищем такое чётное число $n$, что $f(n) = m$, то есть $n + 1 = m$. Решая это уравнение относительно $n$, находим $n = m - 1$. Поскольку $m$ — нечётное число, то $m-1$ всегда является чётным числом, а значит, $n = m-1 \in E$. Таким образом, для любого элемента $m \in O$ мы нашли его прообраз $n \in E$. Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = n + 1$ является и инъективной, и сюръективной, она является биекцией между множествами $E$ и $O$. Существование биекции доказывает, что эти множества равномощны.

Ответ: Множества чётных и нечётных чисел равномощны, так как между ними можно установить биективное соответствие, например, с помощью функции $f(n) = n+1$, которая каждому чётному числу $n$ ставит в соответствие нечётное число.

2.7. Каждому элементу множества $ \{n, n + 1, n + 2\} $, где $ n \in N $, поставили в соответствие остаток от деления этого элемента на 3. Установлено ли таким образом взаимно однозначное соответствие между множествами $ \{n, n + 1, n + 2\} $ и $ \{0, 1, 2\} $?

Для того чтобы установить, является ли соответствие между множествами $A = \{n, n + 1, n + 2\}$ и $B = \{0, 1, 2\}$ взаимно однозначным, необходимо проверить, выполнются ли два условия:

1. Каждому элементу множества $A$ соответствует ровно один элемент множества $B$.
2. Каждому элементу множества $B$ соответствует ровно один элемент множества $A$.

Соответствие устанавливается по правилу: элементу из $A$ сопоставляется его остаток от деления на 3. Множество $B$ как раз и состоит из всех возможных остатков от деления на 3.

Рассмотрим элементы множества $A$: $n, n + 1, n + 2$. Это три последовательных натуральных числа. Докажем, что их остатки от деления на 3 всегда различны.

Представим число $n$ в виде $n = 3q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток от деления $n$ на 3, причем $r$ может принимать значения $0, 1$ или $2$.

• Случай 1: Остаток от деления $n$ на 3 равен 0 ($r=0$).
  Тогда $n = 3q$.
  $n + 1 = 3q + 1$, остаток равен 1.
  $n + 2 = 3q + 2$, остаток равен 2.
  Множество остатков: $\{0, 1, 2\}$.
• Случай 2: Остаток от деления $n$ на 3 равен 1 ($r=1$).
  Тогда $n = 3q + 1$.
  $n + 1 = 3q + 2$, остаток равен 2.
  $n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1)$, остаток равен 0.
  Множество остатков: $\{1, 2, 0\}$.
• Случай 3: Остаток от деления $n$ на 3 равен 2 ($r=2$).
  Тогда $n = 3q + 2$.
  $n + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$, остаток равен 0.
  $n + 2 = 3q + 4 = 3(q + 1) + 1$, остаток равен 1.
  Множество остатков: $\{2, 0, 1\}$.

Во всех трех возможных случаях мы видим, что остатки от деления чисел $n, n+1, n+2$ на 3 являются числами $0, 1, 2$, взятыми в некотором порядке. Это означает, что остатки всех трех чисел различны.

Таким образом, каждому из трех различных элементов множества $\{n, n + 1, n + 2\}$ соответствует свой, уникальный остаток из множества $\{0, 1, 2\}$. И наоборот, каждый возможный остаток (0, 1 или 2) соответствует ровно одному числу из тройки $n, n+1, n+2$.

Следовательно, данное соответствие является взаимно однозначным.

Ответ: да, установлено взаимно однозначное соответствие.

2.8. Каких пятизначных чисел больше: все цифры которых чётны или все цифры которых нечётны?

Для того чтобы определить, каких пятизначных чисел больше, необходимо посчитать количество чисел в каждой из двух категорий, а затем сравнить полученные результаты.

Множество чётных цифр: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ (всего 5 цифр).
Множество нечётных цифр: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ (всего 5 цифр).

все цифры которых чётны

Пятизначное число не может начинаться с нуля. Следовательно, для первой цифры числа есть 4 варианта выбора из множества чётных цифр: $\{2, 4, 6, 8\}$. Для каждой из оставшихся четырёх позиций (со второй по пятую) можно выбрать любую из 5 чётных цифр. Используя комбинаторное правило произведения, получаем общее количество таких чисел: $N_{чётн} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$.
Ответ: 2500.

все цифры которых нечётны

В случае, когда все цифры нечётные, на каждой из пяти позиций может стоять любая из 5 нечётных цифр: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Ограничения на первую цифру нет, так как 0 не является нечётным числом. Общее количество таких чисел равно: $N_{нечётн} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.
Ответ: 3125.

Сравнивая полученные результаты, $3125 > 2500$, можно сделать вывод, что пятизначных чисел, у которых все цифры нечётны, больше, чем чисел, у которых все цифры чётны.
Ответ: пятизначных чисел, все цифры которых нечётны, больше.

2.9. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания, или тех, у которых цифры записаны в порядке убывания?

Для ответа на этот вопрос необходимо подсчитать количество пятизначных чисел для каждого из двух указанных условий и сравнить полученные результаты.

тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания

Пусть пятизначное число состоит из цифр $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$. Если цифры записаны в порядке возрастания, это означает, что выполняется строгое неравенство: $d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5$.

По определению пятизначного числа, его первая цифра $d_1$ не может быть нулем ($d_1 \ne 0$). Из условия $d_1 > 0$ и цепочки неравенств следует, что все цифры числа должны быть больше нуля. Таким образом, для составления таких чисел можно использовать только цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Поскольку все цифры в числе должны быть различны (из-за строгого неравенства), задача сводится к тому, чтобы выбрать 5 различных цифр из 9 доступных (от 1 до 9). После того как 5 цифр выбраны, их можно расположить в порядке возрастания только одним способом. Например, если выбраны цифры {2, 5, 6, 8, 9}, то можно составить только одно число — 25689.

Количество способов выбрать 5 элементов из 9 без учета порядка — это число сочетаний из 9 по 5, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=9$ и $k=5$:

$C_9^5 = \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$.

Ответ: Существует 126 пятизначных чисел, у которых цифры записаны в порядке возрастания.

тех, у которых цифры записаны в порядке убывания

В этом случае для цифр пятизначного числа $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$ должно выполняться условие: $d_1 > d_2 > d_3 > d_4 > d_5$.

Здесь цифры также должны быть различными. Однако теперь мы можем использовать все 10 цифр из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Задача сводится к выбору 5 различных цифр из 10 доступных. Как только мы выберем 5 любых различных цифр, их можно расположить в порядке убывания единственным способом. Например, из набора {8, 5, 2, 1, 0} можно составить только число 85210. Важно отметить, что первая цифра такого числа никогда не будет нулем, так как она всегда будет самой большой из пяти выбранных, а выбрать пять нулей невозможно, так как все цифры должны быть различными.

Количество способов выбрать 5 различных цифр из 10 равно числу сочетаний из 10 по 5:

$C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Ответ: Существует 252 пятизначных числа, у которых цифры записаны в порядке убывания.

Сравнение результатов

Сравнивая количество чисел в обоих случаях, получаем:

• Чисел с цифрами в порядке возрастания: 126.
• Чисел с цифрами в порядке убывания: 252.

Поскольку $252 > 126$, чисел, у которых цифры записаны в порядке убывания, больше.

Ответ: Пятизначных чисел, у которых цифры записаны в порядке убывания, больше.

2.10. В выпуклом $n$-угольнике ($n \ge 4$) никакие три диагонали не пересекаются¹ в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

Для доказательства установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством точек пересечения диагоналей и множеством четырехугольников, вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

1. От точки пересечения к четырехугольнику.
Рассмотрим любую точку $P$ внутри $n$-угольника, которая является точкой пересечения диагоналей. По условию задачи, никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Это означает, что через точку $P$ проходят ровно две диагонали. Пусть одна диагональ соединяет вершины $A$ и $C$, а другая — вершины $B$ и $D$. Вершины $A, B, C, D$ различны, так как в противном случае у отрезков была бы общая вершина, и они бы не пересекались внутри многоугольника. Эти четыре различные вершины $\{A, B, C, D\}$ однозначно определяют выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $P$. Таким образом, каждой точке пересечения диагоналей соответствует единственный четырехугольник, построенный на вершинах исходного $n$-угольника.

2. От четырехугольника к точке пересечения.
Теперь выберем произвольный четырехугольник, вершины которого являются вершинами данного $n$-угольника. Это эквивалентно выбору произвольных четырех вершин из $n$ имеющихся. Пусть мы выбрали вершины $V_1, V_2, V_3, V_4$. Поскольку исходный $n$-угольник является выпуклым, любой четырехугольник, образованный его вершинами, также будет выпуклым. У любого выпуклого четырехугольника есть ровно две диагонали, которые пересекаются в единственной точке внутри него. Эти диагонали также являются диагоналями исходного $n$-угольника. Следовательно, каждому четырехугольнику (т.е. каждому набору из четырех вершин) соответствует единственная точка пересечения диагоналей.

Поскольку мы установили взаимно-однозначное соответствие между множеством точек пересечения и множеством четырехугольников, количество элементов в этих множествах равно. Это доказывает, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырехугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

Ответ: Утверждение доказано. Каждой точке пересечения двух диагоналей однозначно соответствует четырехугольник, образованный четырьмя концами этих диагоналей. И наоборот, каждый четырехугольник, образованный четырьмя вершинами $n$-угольника, имеет ровно одну точку пересечения своих диагоналей. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие, и количество объектов в обоих множествах совпадает. Это число равно числу сочетаний из $n$ по 4, то есть $C_n^4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$.

2.11. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Каких прямоугольников больше: с периметром, равным 1000, или с периметром, равным 1002?

Для решения этой задачи нам необходимо найти количество различных прямоугольников с целочисленными сторонами для каждого из заданных периметров.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Количество различных прямоугольников равно количеству уникальных пар натуральных чисел $\{a, b\}$, удовлетворяющих условию. Чтобы избежать повторного подсчета одного и того же прямоугольника (например, со сторонами 3 и 4, и 4 и 3), мы будем рассматривать только упорядоченные пары $(a, b)$, где $a \le b$.

Прямоугольники с периметром, равным 1000

В этом случае периметр $P = 1000$. Подставим это значение в формулу периметра:$2(a+b) = 1000$Разделив обе части уравнения на 2, получим сумму сторон:$a+b = 500$

Нам нужно найти количество пар натуральных чисел $(a, b)$, которые удовлетворяют этому уравнению при условии $a \le b$. Поскольку $a$ — натуральное число, его минимальное значение равно 1. Из условия $a \le b$ и $b = 500 - a$ следует:$a \le 500 - a$$2a \le 500$$a \le 250$

Таким образом, сторона $a$ может принимать любое целое значение от 1 до 250 включительно. Для каждого такого значения $a$ значение $b$ определяется однозначно как $b=500-a$, и при этом всегда выполняется условие $a \le b$. Количество возможных значений для $a$ равно 250. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1000 и натуральными сторонами.

Прямоугольники с периметром, равным 1002

Теперь рассмотрим случай, когда периметр $P = 1002$.$2(a+b) = 1002$Разделив обе части на 2, получим:$a+b = 501$

Аналогично первому случаю, ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих этому уравнению, при условии $a \le b$. Минимальное значение для $a$ по-прежнему равно 1. Из условия $a \le b$ и $b = 501 - a$ следует:$a \le 501 - a$$2a \le 501$$a \le 250.5$

Поскольку $a$ должно быть натуральным числом, оно может принимать любое целое значение от 1 до 250 включительно. Количество возможных значений для $a$ также равно 250. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1002 и натуральными сторонами.

Вывод

Сравнивая результаты, мы видим, что количество прямоугольников с периметром 1000 (250 штук) и количество прямоугольников с периметром 1002 (250 штук) одинаково.

Ответ: Количество прямоугольников с периметром 1000 и с периметром 1002 одинаково.