Номер 2.3, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.3. Установлено ли взаимно однозначное соответствие между множествами $A$ и $B$ (рис. 2.6)? Точками на рисунке изображены элементы множеств.

а

б

в

г

Рис. 2.6

Взаимно однозначное соответствие (также называемое биекцией) между двумя множествами A и B установлено, если каждому элементу множества A соответствует ровно один элемент множества B, и, наоборот, каждому элементу множества B соответствует ровно один элемент множества A. Для этого необходимо, чтобы множества имели одинаковое количество элементов (одинаковую мощность), и чтобы отображение было одновременно инъективным (разным элементам из A соответствуют разные элементы из B) и сюръективным (каждый элемент B является образом какого-либо элемента A).

а) На данном рисунке каждому из трех элементов множества A соответствует ровно один уникальный элемент множества B. Также каждый из трех элементов множества B имеет соответствующий ему элемент из множества A. Мощности множеств равны: $|A| = 3$ и $|B| = 3$. Следовательно, соответствие является взаимно однозначным.
Ответ: Да, установлено.

б) Здесь, как и в предыдущем случае, каждому элементу множества A соответствует уникальный элемент из множества B, и все элементы множества B задействованы. Мощности множеств также равны: $|A| = 3$ и $|B| = 3$. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие.
Ответ: Да, установлено.

в) На этом рисунке количество элементов в множествах различается: в множестве A — 3 элемента, а в множестве B — 4 элемента ($|A| \neq |B|$). Это является достаточным условием, чтобы утверждать, что взаимно однозначное соответствие невозможно. В частности, в множестве B есть элемент (нижний), которому не соответствует ни один элемент из множества A (отображение не сюръективно).
Ответ: Нет, не установлено.

г) В этом случае количество элементов в множествах также различно: в множестве A — 3 элемента, а в множестве B — 2 элемента ($|A| \neq |B|$). Взаимно однозначное соответствие невозможно. В данном примере два элемента из множества A (верхний и средний) указывают на один и тот же элемент в множестве B (верхний), что нарушает условие инъективности.
Ответ: Нет, не установлено.