Номер 1.18, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.18. Известно, что для любого множества $B$ множество $A$ является его подмножеством. Найдите множество $A$.

По условию задачи, множество $A$ является подмножеством любого множества $B$. Это можно записать в виде логического выражения: $ \forall B (A \subseteq B) $.

Нам нужно найти, что представляет собой множество $A$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что множество $A$ не является пустым, то есть оно содержит хотя бы один элемент. Назовем этот элемент $x$. Таким образом, $x \in A$.

Поскольку по условию множество $A$ является подмножеством любого множества $B$, мы можем выбрать в качестве $B$ какое-то конкретное множество. В качестве такого множества выберем пустое множество $ \emptyset $, которое по определению не содержит ни одного элемента.

Тогда, согласно условию, должно выполняться включение $ A \subseteq \emptyset $.

Определение подмножества гласит, что если $ A \subseteq \emptyset $, то каждый элемент множества $A$ должен также быть элементом множества $ \emptyset $.

Следовательно, наш элемент $x$, для которого мы предположили, что $x \in A$, должен также принадлежать пустому множеству, то есть $x \in \emptyset$.

Однако по определению в пустом множестве нет ни одного элемента. Мы получили противоречие: элемент $x$ одновременно существует в $A$ и не может существовать, так как должен принадлежать $ \emptyset $.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение (что множество $A$ непустое) было неверным. Следовательно, в множестве $A$ не может быть ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Оно обозначается как $ \emptyset $ или $ \{\} $.

Таким образом, единственным множеством, которое удовлетворяет данному условию, является пустое множество, так как по аксиоматике теории множеств пустое множество является подмножеством любого множества.

Ответ: $A = \emptyset$ (пустое множество).