Номер 1.14, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.14. Найдите объединение множеств A и B, если:

1) $A = \{x | x^2 - 1 = 0\}$, $B = \{x | (x - 1)(x - 2) = 0\}$;

2) $A = \{x | 2x + 3 = 0\}$, $B = \{x | x^2 + 3 = 2\}$;

3) $A = \{x | x \in N, x < 5\}$, $B = \{x | x \in N, x < 7\}$.

1)

Сначала найдем элементы каждого множества, решив соответствующие уравнения.

Для множества A: $A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}$.
Решим уравнение $x^2 - 1 = 0$:
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Таким образом, множество A состоит из двух элементов: $A = \{-1, 1\}$.

Для множества B: $B = \{x \mid (x - 1)(x - 2) = 0\}$.
Решим уравнение $(x - 1)(x - 2) = 0$:
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x - 1 = 0$ или $x - 2 = 0$
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Таким образом, множество B состоит из двух элементов: $B = \{1, 2\}$.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. $A \cup B = \{-1, 1\} \cup \{1, 2\} = \{-1, 1, 2\}$.

Ответ: $\{-1, 1, 2\}$.

2)

Найдем элементы множеств A и B.

Для множества A: $A = \{x \mid 2x + 3 = 0\}$.
Решим уравнение $2x + 3 = 0$:
$2x = -3$
$x = -3/2$.
Следовательно, $A = \{-3/2\}$.

Для множества B: $B = \{x \mid x^2 + 3 = 2\}$.
Решим уравнение $x^2 + 3 = 2$:
$x^2 = 2 - 3$
$x^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, множество B является пустым множеством: $B = \emptyset$.

Объединение любого множества с пустым множеством равно этому же множеству. $A \cup B = \{-3/2\} \cup \emptyset = \{-3/2\}$.

Ответ: $\{-3/2\}$.

3)

Определим элементы каждого множества на основе заданных условий.

Для множества A: $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 5\}$.
Множество A состоит из натуральных чисел, которые меньше 5. В России множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ принято начинать с 1.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$.

Для множества B: $B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 7\}$.
Множество B состоит из натуральных чисел, которые меньше 7.
$B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Найдем объединение множеств $A$ и $B$.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Объединение будет содержать все уникальные элементы из обоих множеств.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Обратите внимание, что $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$), поэтому их объединение равно множеству $B$.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.