Номер 1.8, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.8. Какое из множеств, A или B, является подмножеством другого, если:

$A = \{x \mid x = 4n + 2, n \in \mathbb{N}\}$; $B = \{x \mid x = 8n + 2, n \in \mathbb{N}\}$?

Чтобы определить, какое из двух множеств, $A = \{x \space | \space x = 4n + 2, n \in \mathbb{N}\}$ или $B = \{x \space | \space x = 8n + 2, n \in \mathbb{N}\}$, является подмножеством другого, необходимо проанализировать их элементы и общую структуру.

Будем исходить из стандартного определения множества натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Анализ элементов множеств

Выпишем несколько первых элементов для каждого множества, подставляя последовательные значения $n$ из $\mathbb{N}$.

Для множества A, где $x = 4n + 2$: при $n=1, x=6$; при $n=2, x=10$; при $n=3, x=14$; при $n=4, x=18$. Таким образом, $A = \{6, 10, 14, 18, 22, ...\}$. Элементы этого множества — это числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 (и больше 2).

Для множества B, где $x = 8n + 2$: при $n=1, x=10$; при $n=2, x=18$; при $n=3, x=26$. Таким образом, $B = \{10, 18, 26, 34, ...\}$. Элементы этого множества — это числа, которые при делении на 8 дают в остатке 2.

Сравнивая полученные множества, можно заметить, что все выписанные элементы множества B (10, 18, ...) также содержатся и в множестве A. Однако в множестве A есть элементы, которых нет в B (например, 6, 14). Это позволяет сделать предположение, что B является подмножеством A ($B \subset A$).

Формальное доказательство

Чтобы доказать, что $B$ является подмножеством $A$, необходимо показать, что любой элемент, принадлежащий множеству $B$, также принадлежит и множеству $A$.

Возьмём произвольный элемент $x_0 \in B$. По определению множества $B$, для этого элемента существует такое натуральное число $k \in \mathbb{N}$, что $x_0 = 8k + 2$.

Теперь нужно проверить, можно ли представить $x_0$ в виде $4m + 2$, где $m$ — некоторое натуральное число. Преобразуем выражение для $x_0$: $x_0 = 8k + 2 = 4 \cdot (2k) + 2$.

Обозначим $m = 2k$. Поскольку $k$ является натуральным числом ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$), то $m = 2k$ также будет натуральным числом ($m \in \{2, 4, 6, ...\}$). Так как множество $\{2, 4, 6, ...\}$ является подмножеством всех натуральных чисел $\mathbb{N}$, то $m \in \mathbb{N}$.

Следовательно, любой элемент $x_0$ из множества $B$ можно представить в виде $4m + 2$, где $m$ — натуральное число. Это означает, что $x_0 \in A$. Поскольку мы выбрали произвольный элемент $x_0$, это верно для всех элементов множества $B$. Таким образом, доказано, что $B \subseteq A$.

Теперь проверим обратное: является ли $A$ подмножеством $B$ ($A \subseteq B$?). Для этого необходимо, чтобы каждый элемент из $A$ принадлежал $B$. Рассмотрим элемент $x=6$ из множества $A$ (получается при $n=1$). Если бы он принадлежал множеству $B$, то должно было бы существовать такое натуральное число $k$, что $6 = 8k + 2$.

Решим это уравнение относительно $k$:
$8k = 6 - 2$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $k = \frac{1}{2}$ не является натуральным числом ($k \notin \mathbb{N}$). Это означает, что элемент $6 \in A$, но $6 \notin B$. Следовательно, множество $A$ не является подмножеством множества $B$.

На основании проведённого анализа мы можем заключить, что множество $B$ является подмножеством множества $A$.

Ответ: Множество B является подмножеством множества A.