Номер 1.5, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.5. Какое из следующих утверждений верно:

1) ${a} \in \{a, b\}$;

2) ${a} \subset \{a, b\}$;

3) $a \subset \{a, b\}$;

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать каждое из них, учитывая определения основных операций теории множеств: принадлежности элемента множеству ($ \in $) и включения одного множества в другое (подмножество, $ \subset $).

Пусть дано множество $ A = \{a, b\} $. Элементами этого множества являются $a$ и $b$.

1) $\{a\} \in \{a, b\}$

Этот вариант утверждает, что множество $\{a\}$ является элементом множества $\{a, b\}$. Элементами множества $\{a, b\}$ являются $a$ и $b$. Множество $\{a\}$ не является ни элементом $a$, ни элементом $b$. Следовательно, утверждение неверно. Чтобы оно было верным, правое множество должно было бы содержать множество $\{a\}$ в качестве элемента, например: $\{\{a\}, b\}$.

Ответ: неверно.

2) $\{a\} \subset \{a, b\}$

Этот вариант утверждает, что множество $\{a\}$ является подмножеством множества $\{a, b\}$. По определению, множество $X$ является подмножеством множества $Y$, если каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$. Множество $\{a\}$ состоит из одного элемента — $a$. Этот элемент ($a$) также принадлежит множеству $\{a, b\}$. Так как все элементы множества $\{a\}$ содержатся в множестве $\{a, b\}$, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

3) $a \subset \{a, b\}$

Знак включения (подмножества) $ \subset $ используется для описания отношения между двумя множествами. В данном случае слева от знака стоит элемент $a$, а не множество. Отношение "быть подмножеством" не определено между элементом и множеством. Правильным было бы утверждение о принадлежности: $a \in \{a, b\}$. Следовательно, утверждение в такой форме некорректно и неверно.

Ответ: неверно.

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$

Этот вариант утверждает, что множество $\{a, b\}$ является элементом самого себя. Элементами множества $\{a, b\}$ являются только $a$ и $b$. Само множество $\{a, b\}$ не входит в их число. Таким образом, это утверждение неверно. Стоит отметить, что верным было бы утверждение о подмножестве: $\{a, b\} \subset \{a, b\}$ (любое множество является подмножеством самого себя).

Ответ: неверно.