Номер 1.7, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.7. Запишите с помощью символа $\subset$ соотношение между множествами:

$A = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbb{N}\}$;

$B = \{x \mid x = 50n, n \in \mathbb{N}\}$;

$C = \{x \mid x = 10n, n \in \mathbb{N}\}$;

$D = \{x \mid x = 5n, n \in \mathbb{N}\}$.

Для того чтобы установить соотношения между множествами с помощью символа $\subset$ (строгое подмножество), проанализируем каждое множество и его элементы.

A = $\{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 2 (четные числа).

B = $\{x | x = 50n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 50.

C = $\{x | x = 10n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 10.

D = $\{x | x = 5n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 5.

Множество $X$ является строгим подмножеством множества $Y$ (записывается как $X \subset Y$), если все элементы множества $X$ принадлежат множеству $Y$, и при этом в множестве $Y$ есть хотя бы один элемент, не принадлежащий $X$.

Рассмотрим соотношения попарно, основываясь на делимости чисел:

1. Соотношения для множества B

Возьмем любой элемент из множества B. Он имеет вид $50k$, где $k \in \mathbb{N}$.

• Поскольку $50k = 10 \cdot (5k)$, то любое число, кратное 50, также кратно 10. Значит, любой элемент из B есть в C. Так как $10 \in C$, но $10 \notin B$, то множество B является строгим подмножеством C. Получаем: $B \subset C$.

• Поскольку $50k = 5 \cdot (10k)$, то любое число, кратное 50, также кратно 5. Значит, любой элемент из B есть в D. Так как $5 \in D$, но $5 \notin B$, то $B \subset D$.

• Поскольку $50k = 2 \cdot (25k)$, то любое число, кратное 50, также кратно 2. Значит, любой элемент из B есть в A. Так как $2 \in A$, но $2 \notin B$, то $B \subset A$.

2. Соотношения для множества C

Возьмем любой элемент из множества C. Он имеет вид $10m$, где $m \in \mathbb{N}$.

• Поскольку $10m = 2 \cdot (5m)$, то любое число, кратное 10, также кратно 2. Значит, любой элемент из C есть в A. Так как $2 \in A$, но $2 \notin C$, то $C \subset A$.

• Поскольку $10m = 5 \cdot (2m)$, то любое число, кратное 10, также кратно 5. Значит, любой элемент из C есть в D. Так как $5 \in D$, но $5 \notin C$, то $C \subset D$.

3. Проверка остальных пар

Между множествами A (кратные 2) и D (кратные 5) нет отношения включения, так как существуют элементы в одном множестве, которых нет в другом (например, $2 \in A$, но $2 \notin D$, и $5 \in D$, но $5 \notin A$).

Собрав все найденные отношения, мы можем записать их в виде цепочек включений.

Ответ: $B \subset C$, $C \subset A$, $C \subset D$, $B \subset A$, $B \subset D$. Эти соотношения можно наглядно представить в виде двух цепочек: $B \subset C \subset A$ и $B \subset C \subset D$.