Вопросы?, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как обозначают множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел?

2. Какие существуют способы задания множеств?

3. Какое множество называют подмножеством данного множества?

4. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?

5. Что называют пересечением двух множеств; объединением двух множеств; разностью двух множеств?

1. Как обозначают множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел?

В математике для основных числовых множеств приняты стандартные обозначения. Множество натуральных чисел (1, 2, 3, ...) обозначается символом $\mathbb{N}$. Множество целых чисел (..., -1, 0, 1, ...), включающее натуральные числа, им противоположные и ноль, обозначается символом $\mathbb{Z}$. Множество рациональных чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, обозначается символом $\mathbb{Q}$. Множество действительных (вещественных) чисел, объединяющее рациональные и иррациональные числа, обозначается символом $\mathbb{R}$. Эти символы происходят от названий чисел на разных языках (N — "naturalis", Z — "Zahlen", Q — "quotient", R — "real") и пишутся специальным шрифтом "blackboard bold".
Ответ: Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно символами $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$.

2. Какие существуют способы задания множеств?

Существует два основных способа задания множеств. Первый способ — это перечисление всех его элементов. Элементы записываются в фигурных скобках через запятую, например, множество первых трех натуральных чисел: $A = \{1, 2, 3\}$. Этот способ удобен для конечных множеств. Второй способ — это задание характеристического свойства, которому удовлетворяют все элементы множества и не удовлетворяют никакие другие. Запись выглядит так: $\{x \mid P(x)\}$, где $P(x)$ — это свойство. Например, то же множество $A$ можно задать свойством: $A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ и } x \le 3\}$.
Ответ: Множества задают либо перечислением всех его элементов, либо указанием характеристического свойства, которому удовлетворяют все его элементы.

3. Какое множество называют подмножеством данного множества?

Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$. Иными словами, множество $A$ целиком содержится в множестве $B$. Это отношение обозначается как $A \subseteq B$. Например, если $A = \{1, 2\}$ и $B = \{1, 2, 3, 4\}$, то $A$ является подмножеством $B$ ($A \subseteq B$), так как и 1, и 2 содержатся в $B$. Важно помнить, что пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством любого множества, и любое множество является подмножеством самого себя.
Ответ: Подмножеством данного множества $B$ называют такое множество $A$, все элементы которого также принадлежат множеству $B$.

4. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами?

Для наглядной иллюстрации соотношений между множествами используют диаграммы Эйлера-Венна. В этих диаграммах множества изображаются в виде геометрических фигур, как правило, кругов, на плоскости. Если одно множество является подмножеством другого ($A \subseteq B$), его круг рисуют внутри круга другого множества. Если множества имеют общие элементы, их круги изображают пересекающимися. А если у множеств нет общих элементов, их круги рисуют отдельно друг от друга. Такой графический метод позволяет легко понять структуру и взаимосвязи между различными множествами.
Ответ: Соотношения между множествами наглядно иллюстрируют с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

5. Что называют пересечением двух множеств; объединением двух множеств; разностью двух множеств?

Это основные операции над множествами. Пересечением двух множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Объединением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cup B$) называют множество, включающее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим сразу). Разностью множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \setminus B$) называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$. Например, для множеств $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ их пересечением будет $A \cap B = \{3\}$, объединением — $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, а разностью — $A \setminus B = \{1, 2\}$.
Ответ: Пересечение — это множество общих элементов; объединение — множество всех элементов из обоих множеств; разность — множество элементов, которые есть в первом множестве, но отсутствуют во втором.