Номер 1.3, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.3. Равны ли множества А и В:

1) $A = \{1\}, B = \{\{1\}\};$

2) $A = \{x \mid x \le 3, x \in \mathbb{Z}\}, B = \{x \mid x < 4, x \in \mathbb{Z}\};$

3) $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 19k, k \in \mathbb{Z}\}, B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 3 < x < 4\}?$

1) Два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Множество $A = \{1\}$ состоит из одного элемента — числа 1. Множество $B = \{\{1\}\}$ также состоит из одного элемента, но этим элементом является другое множество — $\{1\}$. Поскольку число $1$ и множество $\{1\}$ — это разные объекты ($1 \neq \{1\}$), то множества $A$ и $B$ не имеют общих элементов и, следовательно, не равны.
Ответ: множества не равны.

2) Определим элементы множества $A = \{x | x \le 3, x \in \mathbb{Z}\}$. Это множество всех целых чисел, которые меньше или равны 3. Перечислим их: $A = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Теперь определим элементы множества $B = \{x | x < 4, x \in \mathbb{Z}\}$. Это множество всех целых чисел, которые строго меньше 4. Наибольшее целое число, которое меньше 4, это 3. Таким образом, $B = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Множества $A$ и $B$ содержат абсолютно одинаковые элементы, поэтому они равны.
Ответ: множества равны.

3) Рассмотрим множество $A = \{x | x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 19k, k \in \mathbb{Z}\}$. Элементы множества $A$ должны быть натуральными числами ($x \in \mathbb{N}$), не превышать 15 ($x \le 15$) и быть кратными 19 ($x = 19k$, где $k$ - целое число). Поскольку $x$ — натуральное число, $x$ должен быть положительным, значит $19k > 0$, что возможно только при $k > 0$. Возьмем наименьшее возможное целое положительное значение $k=1$. Тогда $x = 19 \cdot 1 = 19$. Однако это значение противоречит условию $x \le 15$. При $k \ge 1$, значение $x$ будет еще больше. Следовательно, не существует ни одного числа, удовлетворяющего всем условиям. Значит, множество $A$ является пустым множеством: $A = \emptyset$. Теперь рассмотрим множество $B = \{x | x \in \mathbb{N}, 3 < x < 4\}$. Элементы множества $B$ — это натуральные числа, которые строго больше 3 и строго меньше 4. Между числами 3 и 4 нет других натуральных (или целых) чисел. Следовательно, множество $B$ также является пустым множеством: $B = \emptyset$. Поскольку оба множества $A$ и $B$ являются пустыми, они равны.
Ответ: множества равны.