Страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Согласно определениям и аксиомам теории множеств, у любого множества $A$ всегда существуют по крайней мере два подмножества, которые иногда называют тривиальными.

1. Пустое множество ($\emptyset$). Пустое множество по определению является подмножеством любого множества. Это следует из логического определения включения: утверждение, что "каждый элемент пустого множества является элементом множества $A$", истинно, поскольку в пустом множестве нет элементов, для которых это утверждение могло бы быть ложным. Таким образом, для любого множества $A$ всегда верно, что $\emptyset \subseteq A$.

2. Само множество $A$. Любое множество является подмножеством самого себя. Это следует непосредственно из определения подмножества: каждый элемент множества $A$ тривиально является элементом множества $A$. Таким образом, $A \subseteq A$.

В условии задачи сказано, что множество $A$ не является пустым, то есть $A \ne \emptyset$. Это означает, что множество $A$ содержит хотя бы один элемент, в то время как пустое множество $\emptyset$ не содержит ни одного. Следовательно, эти два подмножества — $\emptyset$ и $A$ — различны.

Ответ: Пустое множество ($\emptyset$) и само множество $A$.

1.2. Равны ли множества A и B:

1) $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 1\}$;

2) $A = \{(0; 1)\}$, $B = \{(1; 0)\}$;

3) $A = \{x \mid x \in N, \text{ x кратно 2 и 3}\}$, $B = \{x \mid x \in N, \text{ x кратно 6}\}$?

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Порядок перечисления элементов в множестве не имеет значения.

1) $A = \{1, 2\}, B = \{2, 1\}$
Множество $A$ состоит из элементов 1 и 2.
Множество $B$ состоит из элементов 2 и 1.
Так как оба множества содержат одинаковые элементы, они равны.
Ответ: Да, множества $A$ и $B$ равны.

2) $A = \{(0; 1)\}, B = \{(1; 0)\}$
Множество $A$ содержит один элемент — упорядоченную пару $(0; 1)$.
Множество $B$ содержит один элемент — упорядоченную пару $(1; 0)$.
В упорядоченных парах (кортежах) важен порядок элементов. Поскольку $(0; 1) \neq (1; 0)$, то элементы множеств $A$ и $B$ различны.
Следовательно, множества не равны.
Ответ: Нет, множества $A$ и $B$ не равны.

3) $A = \{x \mid x \in N, x \text{ кратно 2 и 3}\}, B = \{x \mid x \in N, x \text{ кратно 6}\}$?
Множество $A$ — это множество натуральных чисел ($N$), которые делятся одновременно на 2 и на 3.
Согласно признаку делимости, если число делится на два взаимно простых числа (какими являются 2 и 3), то оно делится и на их произведение.
Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно $2 \times 3 = 6$. Таким образом, число кратно 2 и 3 тогда и только тогда, когда оно кратно 6.
Следовательно, множество $A$ — это множество натуральных чисел, кратных 6.
Множество $B$ по своему определению также является множеством натуральных чисел, кратных 6.
Так как оба множества описывают одни и те же элементы ($6, 12, 18, \dots$), они равны.
Ответ: Да, множества $A$ и $B$ равны.

1.3. Равны ли множества А и В:

1) $A = \{1\}, B = \{\{1\}\};$

2) $A = \{x \mid x \le 3, x \in \mathbb{Z}\}, B = \{x \mid x < 4, x \in \mathbb{Z}\};$

3) $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 19k, k \in \mathbb{Z}\}, B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 3 < x < 4\}?$

1) Два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Множество $A = \{1\}$ состоит из одного элемента — числа 1. Множество $B = \{\{1\}\}$ также состоит из одного элемента, но этим элементом является другое множество — $\{1\}$. Поскольку число $1$ и множество $\{1\}$ — это разные объекты ($1 \neq \{1\}$), то множества $A$ и $B$ не имеют общих элементов и, следовательно, не равны.
Ответ: множества не равны.

2) Определим элементы множества $A = \{x | x \le 3, x \in \mathbb{Z}\}$. Это множество всех целых чисел, которые меньше или равны 3. Перечислим их: $A = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Теперь определим элементы множества $B = \{x | x < 4, x \in \mathbb{Z}\}$. Это множество всех целых чисел, которые строго меньше 4. Наибольшее целое число, которое меньше 4, это 3. Таким образом, $B = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Множества $A$ и $B$ содержат абсолютно одинаковые элементы, поэтому они равны.
Ответ: множества равны.

3) Рассмотрим множество $A = \{x | x \in \mathbb{N}, x \le 15, x = 19k, k \in \mathbb{Z}\}$. Элементы множества $A$ должны быть натуральными числами ($x \in \mathbb{N}$), не превышать 15 ($x \le 15$) и быть кратными 19 ($x = 19k$, где $k$ - целое число). Поскольку $x$ — натуральное число, $x$ должен быть положительным, значит $19k > 0$, что возможно только при $k > 0$. Возьмем наименьшее возможное целое положительное значение $k=1$. Тогда $x = 19 \cdot 1 = 19$. Однако это значение противоречит условию $x \le 15$. При $k \ge 1$, значение $x$ будет еще больше. Следовательно, не существует ни одного числа, удовлетворяющего всем условиям. Значит, множество $A$ является пустым множеством: $A = \emptyset$. Теперь рассмотрим множество $B = \{x | x \in \mathbb{N}, 3 < x < 4\}$. Элементы множества $B$ — это натуральные числа, которые строго больше 3 и строго меньше 4. Между числами 3 и 4 нет других натуральных (или целых) чисел. Следовательно, множество $B$ также является пустым множеством: $B = \emptyset$. Поскольку оба множества $A$ и $B$ являются пустыми, они равны.
Ответ: множества равны.

1.4. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:

1) $A = \{x \mid x \neq x\};$

2) $B = \{x \mid x \in \mathbf{Z}, \frac{1}{2}x - 2 = 0\};$

3) $C = \{x \mid x \in \mathbf{Z}, |x| < 1\}?$

1) Рассмотрим множество $A = \{x \mid x \ne x\}$.

Это множество состоит из всех элементов $x$, которые не равны самим себе. Согласно свойству рефлексивности равенства, любой элемент всегда равен самому себе, то есть $x = x$ для любого $x$. Следовательно, условие $x \ne x$ является ложным для любого $x$. Это означает, что не существует ни одного элемента, который бы удовлетворял этому условию. Таким образом, множество $A$ не содержит элементов, оно является пустым множеством ($A = \emptyset$).

Ответ: Множество A равно пустому множеству.

2) Рассмотрим множество $B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, \frac{1}{2}x - 2 = 0\}$.

Это множество состоит из всех целых чисел $x$, которые удовлетворяют уравнению $\frac{1}{2}x - 2 = 0$. Решим данное уравнение:

$\frac{1}{2}x = 2$

$x = 4$

Решением уравнения является $x = 4$. Так как 4 является целым числом ($4 \in \mathbb{Z}$), множество $B$ содержит один элемент: $B = \{4\}$. Поскольку множество содержит элемент, оно не является пустым.

Ответ: Множество B не равно пустому множеству.

3) Рассмотрим множество $C = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, |x| < 1\}$.

Это множество состоит из всех целых чисел $x$, модуль которых меньше 1. Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию (находится строго между -1 и 1), это 0. Следовательно, множество $C$ содержит один элемент: $C = \{0\}$. Поскольку множество содержит элемент, оно не является пустым.

Ответ: Множество C не равно пустому множеству.

1.5. Какое из следующих утверждений верно:

1) ${a} \in \{a, b\}$;

2) ${a} \subset \{a, b\}$;

3) $a \subset \{a, b\}$;

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать каждое из них, учитывая определения основных операций теории множеств: принадлежности элемента множеству ($ \in $) и включения одного множества в другое (подмножество, $ \subset $).

Пусть дано множество $ A = \{a, b\} $. Элементами этого множества являются $a$ и $b$.

1) $\{a\} \in \{a, b\}$

Этот вариант утверждает, что множество $\{a\}$ является элементом множества $\{a, b\}$. Элементами множества $\{a, b\}$ являются $a$ и $b$. Множество $\{a\}$ не является ни элементом $a$, ни элементом $b$. Следовательно, утверждение неверно. Чтобы оно было верным, правое множество должно было бы содержать множество $\{a\}$ в качестве элемента, например: $\{\{a\}, b\}$.

Ответ: неверно.

2) $\{a\} \subset \{a, b\}$

Этот вариант утверждает, что множество $\{a\}$ является подмножеством множества $\{a, b\}$. По определению, множество $X$ является подмножеством множества $Y$, если каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$. Множество $\{a\}$ состоит из одного элемента — $a$. Этот элемент ($a$) также принадлежит множеству $\{a, b\}$. Так как все элементы множества $\{a\}$ содержатся в множестве $\{a, b\}$, данное утверждение верно.

Ответ: верно.

3) $a \subset \{a, b\}$

Знак включения (подмножества) $ \subset $ используется для описания отношения между двумя множествами. В данном случае слева от знака стоит элемент $a$, а не множество. Отношение "быть подмножеством" не определено между элементом и множеством. Правильным было бы утверждение о принадлежности: $a \in \{a, b\}$. Следовательно, утверждение в такой форме некорректно и неверно.

Ответ: неверно.

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$

Этот вариант утверждает, что множество $\{a, b\}$ является элементом самого себя. Элементами множества $\{a, b\}$ являются только $a$ и $b$. Само множество $\{a, b\}$ не входит в их число. Таким образом, это утверждение неверно. Стоит отметить, что верным было бы утверждение о подмножестве: $\{a, b\} \subset \{a, b\}$ (любое множество является подмножеством самого себя).

Ответ: неверно.

1.6. Докажите, что если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$.

1.6.

Для доказательства утверждения необходимо показать, что из условий $A \subset B$ и $B \subset C$ следует, что $A \subset C$.

Воспользуемся определением подмножества. Множество A является подмножеством множества B (обозначается как $A \subset B$) тогда и только тогда, когда каждый элемент множества A также является элементом множества B. Формально это можно записать так: $A \subset B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)$.

Наша цель — доказать, что $A \subset C$, то есть доказать, что для любого элемента $x$ выполняется импликация $x \in A \implies x \in C$.

Проведем доказательство по шагам:

1. Выберем произвольный элемент $x$, принадлежащий множеству $A$. Запишем это как $x \in A$.

2. Согласно условию, $A \subset B$. По определению подмножества, это означает, что каждый элемент из $A$ также является элементом $B$. Поскольку мы выбрали $x \in A$, из этого следует, что $x \in B$.

3. Согласно второму условию, $B \subset C$. По определению подмножества, это означает, что каждый элемент из $B$ также является элементом $C$. Поскольку мы на предыдущем шаге установили, что $x \in B$, из этого следует, что $x \in C$.

Таким образом, мы начали с предположения, что $x$ — это произвольный элемент из множества $A$ ($x \in A$), и с помощью логической цепочки выводов, основанных на данных условиях, пришли к заключению, что $x$ также принадлежит множеству $C$ ($x \in C$).

Так как это рассуждение верно для любого произвольно выбранного элемента $x$ из множества $A$, мы доказали, что любой элемент множества $A$ является также элементом множества $C$. По определению, это означает, что $A \subset C$.

Это свойство называется транзитивностью отношения включения множеств.

Ответ: Утверждение, что если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$, доказано.

1.7. Запишите с помощью символа $\subset$ соотношение между множествами:

$A = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbb{N}\}$;

$B = \{x \mid x = 50n, n \in \mathbb{N}\}$;

$C = \{x \mid x = 10n, n \in \mathbb{N}\}$;

$D = \{x \mid x = 5n, n \in \mathbb{N}\}$.

Для того чтобы установить соотношения между множествами с помощью символа $\subset$ (строгое подмножество), проанализируем каждое множество и его элементы.

A = $\{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 2 (четные числа).

B = $\{x | x = 50n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 50.

C = $\{x | x = 10n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 10.

D = $\{x | x = 5n, n \in \mathbb{N}\}$ — это множество всех положительных чисел, кратных 5.

Множество $X$ является строгим подмножеством множества $Y$ (записывается как $X \subset Y$), если все элементы множества $X$ принадлежат множеству $Y$, и при этом в множестве $Y$ есть хотя бы один элемент, не принадлежащий $X$.

Рассмотрим соотношения попарно, основываясь на делимости чисел:

1. Соотношения для множества B

Возьмем любой элемент из множества B. Он имеет вид $50k$, где $k \in \mathbb{N}$.

• Поскольку $50k = 10 \cdot (5k)$, то любое число, кратное 50, также кратно 10. Значит, любой элемент из B есть в C. Так как $10 \in C$, но $10 \notin B$, то множество B является строгим подмножеством C. Получаем: $B \subset C$.

• Поскольку $50k = 5 \cdot (10k)$, то любое число, кратное 50, также кратно 5. Значит, любой элемент из B есть в D. Так как $5 \in D$, но $5 \notin B$, то $B \subset D$.

• Поскольку $50k = 2 \cdot (25k)$, то любое число, кратное 50, также кратно 2. Значит, любой элемент из B есть в A. Так как $2 \in A$, но $2 \notin B$, то $B \subset A$.

2. Соотношения для множества C

Возьмем любой элемент из множества C. Он имеет вид $10m$, где $m \in \mathbb{N}$.

• Поскольку $10m = 2 \cdot (5m)$, то любое число, кратное 10, также кратно 2. Значит, любой элемент из C есть в A. Так как $2 \in A$, но $2 \notin C$, то $C \subset A$.

• Поскольку $10m = 5 \cdot (2m)$, то любое число, кратное 10, также кратно 5. Значит, любой элемент из C есть в D. Так как $5 \in D$, но $5 \notin C$, то $C \subset D$.

3. Проверка остальных пар

Между множествами A (кратные 2) и D (кратные 5) нет отношения включения, так как существуют элементы в одном множестве, которых нет в другом (например, $2 \in A$, но $2 \notin D$, и $5 \in D$, но $5 \notin A$).

Собрав все найденные отношения, мы можем записать их в виде цепочек включений.

Ответ: $B \subset C$, $C \subset A$, $C \subset D$, $B \subset A$, $B \subset D$. Эти соотношения можно наглядно представить в виде двух цепочек: $B \subset C \subset A$ и $B \subset C \subset D$.

1.8. Какое из множеств, A или B, является подмножеством другого, если:

$A = \{x \mid x = 4n + 2, n \in \mathbb{N}\}$; $B = \{x \mid x = 8n + 2, n \in \mathbb{N}\}$?

Чтобы определить, какое из двух множеств, $A = \{x \space | \space x = 4n + 2, n \in \mathbb{N}\}$ или $B = \{x \space | \space x = 8n + 2, n \in \mathbb{N}\}$, является подмножеством другого, необходимо проанализировать их элементы и общую структуру.

Будем исходить из стандартного определения множества натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Анализ элементов множеств

Выпишем несколько первых элементов для каждого множества, подставляя последовательные значения $n$ из $\mathbb{N}$.

Для множества A, где $x = 4n + 2$: при $n=1, x=6$; при $n=2, x=10$; при $n=3, x=14$; при $n=4, x=18$. Таким образом, $A = \{6, 10, 14, 18, 22, ...\}$. Элементы этого множества — это числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 (и больше 2).

Для множества B, где $x = 8n + 2$: при $n=1, x=10$; при $n=2, x=18$; при $n=3, x=26$. Таким образом, $B = \{10, 18, 26, 34, ...\}$. Элементы этого множества — это числа, которые при делении на 8 дают в остатке 2.

Сравнивая полученные множества, можно заметить, что все выписанные элементы множества B (10, 18, ...) также содержатся и в множестве A. Однако в множестве A есть элементы, которых нет в B (например, 6, 14). Это позволяет сделать предположение, что B является подмножеством A ($B \subset A$).

Формальное доказательство

Чтобы доказать, что $B$ является подмножеством $A$, необходимо показать, что любой элемент, принадлежащий множеству $B$, также принадлежит и множеству $A$.

Возьмём произвольный элемент $x_0 \in B$. По определению множества $B$, для этого элемента существует такое натуральное число $k \in \mathbb{N}$, что $x_0 = 8k + 2$.

Теперь нужно проверить, можно ли представить $x_0$ в виде $4m + 2$, где $m$ — некоторое натуральное число. Преобразуем выражение для $x_0$: $x_0 = 8k + 2 = 4 \cdot (2k) + 2$.

Обозначим $m = 2k$. Поскольку $k$ является натуральным числом ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$), то $m = 2k$ также будет натуральным числом ($m \in \{2, 4, 6, ...\}$). Так как множество $\{2, 4, 6, ...\}$ является подмножеством всех натуральных чисел $\mathbb{N}$, то $m \in \mathbb{N}$.

Следовательно, любой элемент $x_0$ из множества $B$ можно представить в виде $4m + 2$, где $m$ — натуральное число. Это означает, что $x_0 \in A$. Поскольку мы выбрали произвольный элемент $x_0$, это верно для всех элементов множества $B$. Таким образом, доказано, что $B \subseteq A$.

Теперь проверим обратное: является ли $A$ подмножеством $B$ ($A \subseteq B$?). Для этого необходимо, чтобы каждый элемент из $A$ принадлежал $B$. Рассмотрим элемент $x=6$ из множества $A$ (получается при $n=1$). Если бы он принадлежал множеству $B$, то должно было бы существовать такое натуральное число $k$, что $6 = 8k + 2$.

Решим это уравнение относительно $k$:
$8k = 6 - 2$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $k = \frac{1}{2}$ не является натуральным числом ($k \notin \mathbb{N}$). Это означает, что элемент $6 \in A$, но $6 \notin B$. Следовательно, множество $A$ не является подмножеством множества $B$.

На основании проведённого анализа мы можем заключить, что множество $B$ является подмножеством множества $A$.

Ответ: Множество B является подмножеством множества A.

1.9. Даны множества ${7}$, ${11}$, ${19}$, ${7, 11}$, ${7, 19}$, ${11, 19}$, $\emptyset$, являющиеся всеми собственными подмножествами некоторого множества $A$. Запишите множество $A$.

По определению, собственное подмножество множества $A$ — это любое подмножество $A$, не совпадающее с самим множеством $A$.

В задаче перечислены все собственные подмножества множества $A$: $\{7\}$, $\{11\}$, $\{19\}$, $\{7, 11\}$, $\{7, 19\}$, $\{11, 19\}$, $∅$.

Подсчитаем количество данных собственных подмножеств. Их ровно 7.

Если множество $A$ содержит $n$ элементов, то общее количество его подмножеств (включая пустое множество и само множество $A$) равно $2^n$. Количество собственных подмножеств равно $2^n - 1$ (так как мы исключаем само множество $A$).

По условию, количество собственных подмножеств равно 7. Составим уравнение, чтобы найти количество элементов $n$ в множестве $A$:
$2^n - 1 = 7$
$2^n = 7 + 1$
$2^n = 8$
$2^n = 2^3$
$n = 3$
Таким образом, исходное множество $A$ состоит из 3 элементов.

Элементы множества $A$ можно определить, рассмотрев данные подмножества. Одноэлементные подмножества $\{7\}$, $\{11\}$ и $\{19\}$ указывают на то, что числа 7, 11 и 19 являются элементами множества $A$. Поскольку мы установили, что в множестве $A$ ровно 3 элемента, то это и есть все его элементы.

Следовательно, искомое множество $A = \{7, 11, 19\}$.

Для проверки найдем все собственные подмножества множества $A = \{7, 11, 19\}$:
- Подмножество из 0 элементов: $∅$
- Подмножества из 1 элемента: $\{7\}, \{11\}, \{19\}$
- Подмножества из 2 элементов: $\{7, 11\}, \{7, 19\}, \{11, 19\}$
Всего $1 + 3 + 3 = 7$ собственных подмножеств. Этот набор полностью совпадает с набором, данным в условии задачи. Значит, множество $A$ найдено верно.

Ответ: $A = \{7, 11, 19\}$.

1.10. Назовите все подмножества множества ${1, 2}$.

Пусть дано множество $A = \{1, 2\}$. Подмножеством множества $A$ называется любое множество, все элементы которого принадлежат также и множеству $A$. Чтобы найти все подмножества, нужно перечислить все возможные комбинации элементов из исходного множества, включая комбинацию без элементов (пустое множество) и комбинацию со всеми элементами (само множество).

Перечислим все подмножества множества $\{1, 2\}$ в порядке увеличения их размера (количества элементов):

• Подмножество, не содержащее ни одного элемента (мощность 0): это пустое множество. Оно является подмножеством любого множества. Обозначается как $\emptyset$ или $\{\}$.
• Подмножества, содержащие по одному элементу (мощность 1): это множества, состоящие из каждого элемента исходного множества в отдельности. В нашем случае это $\{1\}$ и $\{2\}$.
• Подмножество, содержащее два элемента (мощность 2): это само исходное множество, так как каждый его элемент принадлежит ему же. В нашем случае это $\{1, 2\}$.

Таким образом, мы нашли все возможные подмножества. Общее количество подмножеств для множества, состоящего из $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. Для множества $\{1, 2\}$ у нас $n=2$, следовательно, должно быть $2^2 = 4$ подмножества. Наш список содержит 4 множества: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1, 2\}$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1, 2\}$.

1.11. Какое из следующих утверждений верно:

1) $ \{a, b\} \cap \{a\} = a; $

2) $ \{a, b\} \cap \{a\} = \{a, b\}; $

3) $ \{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}; $

4) $ \{a, b\} \cap \{a\} = \{b\}? $

Для решения этой задачи необходимо найти пересечение двух множеств. Пересечением двух множеств (обозначается символом $\cap$) называется множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно обоим исходным множествам.

В данном случае нам нужно найти пересечение множества $\{a, b\}$ и множества $\{a\}$.

Для этого мы ищем общие элементы:

Элемент $a$ присутствует в первом множестве $(\{a, b\})$ и во втором множестве $(\{a\})$, следовательно, он входит в их пересечение.

Элемент $b$ присутствует в первом множестве $(\{a, b\})$, но отсутствует во втором $(\{a\})$, следовательно, он не входит в их пересечение.

Таким образом, единственным общим элементом является $a$. Результатом пересечения будет множество, содержащее только этот элемент.

Математически это записывается так: $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) Утверждение $\{a, b\} \cap \{a\} = a$ является неверным. Результатом операции пересечения множеств всегда является множество. В правой части равенства стоит элемент $a$, а не множество $\{a\}$.

2) Утверждение $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a, b\}$ является неверным. Множество $\{a, b\}$ является результатом объединения, а не пересечения данных множеств, так как элемент $b$ не является общим.

3) Утверждение $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$ является верным. Как мы определили ранее, пересечение этих двух множеств действительно равно множеству $\{a\}$.

4) Утверждение $\{a, b\} \cap \{a\} = \{b\}$ является неверным. Элемент $b$ не принадлежит второму множеству $\{a\}$ и, следовательно, не может быть в их пересечении.

Ответ: 3

1.12. Какое из следующих утверждений верно:

1) ${a, b} \cup \{b\} = \{a, b\}$;

2) ${a, b} \cup \{b\} = \{b\}$;

3) ${a, b} \cup \{a\} = \{a\}$;

4) ${a, b} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$?

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является верным, необходимо проанализировать каждое равенство, используя определение операции объединения множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (т.е. принадлежат $A$, или $B$, или обоим одновременно). При этом каждый элемент в итоговом множестве записывается только один раз.

1) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$
Рассмотрим объединение множества $\{a, b\}$ и множества $\{b\}$. В первое множество входят элементы $a$ и $b$. Во второе множество входит элемент $b$. Объединив их, мы должны включить в результирующее множество все уникальные элементы из обоих множеств. Такими элементами являются $a$ и $b$. Таким образом, результат операции $\{a, b\} \cup \{b\}$ действительно равен $\{a, b\}$. Утверждение верно.
Ответ: Утверждение 1 является верным.

2) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{b\}$
Как было установлено в предыдущем пункте, результат объединения $\{a, b\} \cup \{b\}$ равен $\{a, b\}$. Утверждение гласит, что этот результат равен $\{b\}$. Равенство $\{a, b\} = \{b\}$ неверно, поскольку элемент $a$ принадлежит левому множеству, но не принадлежит правому (при условии, что $a \neq b$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение 2 является неверным.

3) $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a\}$
Выполним объединение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$. В результирующее множество должны войти все уникальные элементы из обоих множеств, а именно $a$ и $b$. Таким образом, $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a, b\}$. Утверждение сводится к неверному равенству $\{a, b\} = \{a\}$, так как элемент $b$ отсутствует в правой части (при условии $a \neq b$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение 3 является неверным.

4) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$
Результат объединения в левой части равенства, как мы уже знаем, равен $\{a, b\}$. Правая часть равенства — это множество $\{\{b\}\}$. Это множество содержит единственный элемент, который сам является множеством: $\{b\}$. Элементы множеств $\{a, b\}$ (это $a$ и $b$) и $\{\{b\}\}$ (это $\{b\}$) не совпадают. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение 4 является неверным.