Номер 1.12, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.12. Какое из следующих утверждений верно:

1) ${a, b} \cup \{b\} = \{a, b\}$;

2) ${a, b} \cup \{b\} = \{b\}$;

3) ${a, b} \cup \{a\} = \{a\}$;

4) ${a, b} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$?

Для того чтобы определить, какое из предложенных утверждений является верным, необходимо проанализировать каждое равенство, используя определение операции объединения множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (т.е. принадлежат $A$, или $B$, или обоим одновременно). При этом каждый элемент в итоговом множестве записывается только один раз.

1) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$
Рассмотрим объединение множества $\{a, b\}$ и множества $\{b\}$. В первое множество входят элементы $a$ и $b$. Во второе множество входит элемент $b$. Объединив их, мы должны включить в результирующее множество все уникальные элементы из обоих множеств. Такими элементами являются $a$ и $b$. Таким образом, результат операции $\{a, b\} \cup \{b\}$ действительно равен $\{a, b\}$. Утверждение верно.
Ответ: Утверждение 1 является верным.

2) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{b\}$
Как было установлено в предыдущем пункте, результат объединения $\{a, b\} \cup \{b\}$ равен $\{a, b\}$. Утверждение гласит, что этот результат равен $\{b\}$. Равенство $\{a, b\} = \{b\}$ неверно, поскольку элемент $a$ принадлежит левому множеству, но не принадлежит правому (при условии, что $a \neq b$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение 2 является неверным.

3) $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a\}$
Выполним объединение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$. В результирующее множество должны войти все уникальные элементы из обоих множеств, а именно $a$ и $b$. Таким образом, $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a, b\}$. Утверждение сводится к неверному равенству $\{a, b\} = \{a\}$, так как элемент $b$ отсутствует в правой части (при условии $a \neq b$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение 3 является неверным.

4) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$
Результат объединения в левой части равенства, как мы уже знаем, равен $\{a, b\}$. Правая часть равенства — это множество $\{\{b\}\}$. Это множество содержит единственный элемент, который сам является множеством: $\{b\}$. Элементы множеств $\{a, b\}$ (это $a$ и $b$) и $\{\{b\}\}$ (это $\{b\}$) не совпадают. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Утверждение 4 является неверным.