Номер 1.19, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.19. Известно, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cap B = A$. Найдите множество $A$.

По условию задачи дано, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cap B = A$.

Рассмотрим, что означает это равенство. Операция пересечения множеств $A \cap B$ даёт в результате новое множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Если результатом пересечения $A \cap B$ является само множество $A$, это означает, что все элементы множества $A$ также содержатся и в множестве $B$. По определению, это значит, что $A$ является подмножеством $B$. Формально это записывается как $A \subseteq B$.

Таким образом, исходное условие эквивалентно тому, что множество $A$ является подмножеством любого множества $B$.

Докажем от противного. Предположим, что множество $A$ не является пустым, то есть $A \neq \emptyset$. В этом случае в $A$ существует хотя бы один элемент, назовём его $x$. Итак, $x \in A$.

Поскольку $A$ должно быть подмножеством любого множества $B$, то $x$ должен принадлежать любому множеству $B$. Однако легко указать множество, которое не содержит элемент $x$. Например, рассмотрим множество $B = \emptyset$ (пустое множество). По условию, должно выполняться $A \subseteq \emptyset$. Это означает, что любой элемент из $A$ (в частности, $x$) должен быть элементом $\emptyset$. Но пустое множество по определению не содержит элементов. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение о том, что $A$ не является пустым, неверно. Единственно возможный случай — это когда $A$ не содержит ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается $\emptyset$.

Проверим, действительно ли $A = \emptyset$ удовлетворяет условию задачи. Подставим $A = \emptyset$ в исходное равенство: $\emptyset \cap B = \emptyset$. Пересечение любого множества $B$ с пустым множеством $\emptyset$ всегда даёт в результате пустое множество, так как у них нет общих элементов. Таким образом, равенство выполняется для любого множества $B$.

Ответ: $A = \emptyset$.