Номер 1.21, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.21. Найдите подмножества $A$ и $B$ множества $C$ такие, что для любого подмножества $X$ множества $C$ выполняется равенство $X \cap A = X \cup B$.

Рассмотрим данное в условии равенство: $X \setminus A = X \cup B$. Это равенство должно выполняться для любого подмножества $X$ множества $C$, где $A$ и $B$ также являются подмножествами $C$.

По определению операций над множествами, для любых множеств $X$, $A$ и $B$ справедливы следующие включения:

• Разность множеств $X \setminus A$ является подмножеством $X$: $X \setminus A \subseteq X$.
• Множество $X$ является подмножеством объединения $X \cup B$: $X \subseteq X \cup B$.

Из исходного равенства $X \setminus A = X \cup B$ и указанных выше включений следует, что $X \setminus A \subseteq X \subseteq X \cup B$. Равенство между крайними членами этой цепочки возможно только тогда, когда оба включения также являются равенствами:

1. $X \setminus A = X$
2. $X = X \cup B$

Рассмотрим каждое из этих условий отдельно.

1. Равенство $X \setminus A = X$ означает, что из множества $X$ не удаляется ни одного элемента при вычитании множества $A$. Это возможно тогда и только тогда, когда у множеств $X$ и $A$ нет общих элементов, то есть их пересечение пусто: $X \cap A = \emptyset$.

2. Равенство $X = X \cup B$ означает, что при объединении множества $X$ с множеством $B$ не добавляется ни одного нового элемента. Это возможно тогда и только тогда, когда все элементы множества $B$ уже содержатся в $X$, то есть $B$ является подмножеством $X$: $B \subseteq X$.

Оба этих условия должны выполняться для любого подмножества $X$ множества $C$.

Рассмотрим условие $X \cap A = \emptyset$ для всех $X \subseteq C$. Поскольку $A \subseteq C$, мы можем в качестве $X$ взять само множество $A$. Тогда условие принимает вид $A \cap A = \emptyset$. Так как пересечение множества с самим собой есть само это множество ($A \cap A = A$), получаем, что $A = \emptyset$.

Теперь рассмотрим условие $B \subseteq X$ для всех $X \subseteq C$. Мы можем в качестве $X$ взять пустое множество $\emptyset$, так как $\emptyset \subseteq C$. Тогда условие принимает вид $B \subseteq \emptyset$. Единственное множество, которое является подмножеством пустого множества, — это само пустое множество. Следовательно, $B = \emptyset$.

Итак, мы получили, что $A$ и $B$ должны быть пустыми множествами.

Проверим найденное решение. Если $A = \emptyset$ и $B = \emptyset$, то исходное равенство $X \setminus A = X \cup B$ для любого $X$ примет вид:

$X \setminus \emptyset = X \cup \emptyset$

$X = X$

Это тождество верно для любого множества $X$. Значит, найденное решение является верным.

Ответ: $A = \emptyset$ и $B = \emptyset$.