Номер 2.6, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.6. Докажите, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.

Для доказательства равномощности двух множеств необходимо установить между ними биективное соответствие (биекцию), то есть такое отображение, которое является одновременно инъективным и сюръективным.

Обозначим множество всех чётных целых чисел как $E$, а множество всех нечётных целых чисел как $O$.

• Множество чётных чисел: $E = \{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}: n = 2k\} = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$.
• Множество нечётных чисел: $O = \{m \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}: m = 2k + 1\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\}$.

Рассмотрим функцию $f: E \to O$, заданную правилом $f(n) = n + 1$.

Докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность. Функция является инъективной, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. То есть, из $f(n_1) = f(n_2)$ должно следовать $n_1 = n_2$.
Пусть $n_1, n_2 \in E$ и $f(n_1) = f(n_2)$. По определению нашей функции, это означает, что $n_1 + 1 = n_2 + 1$. Вычитая 1 из обеих частей равенства, получаем $n_1 = n_2$. Следовательно, функция $f$ инъективна.

2. Сюръективность. Функция является сюръективной, если для любого элемента из области значений найдется элемент в области определения, который в него отображается. То есть, для любого $m \in O$ должен существовать $n \in E$ такой, что $f(n) = m$.
Пусть $m$ — произвольное нечётное число из множества $O$. Мы ищем такое чётное число $n$, что $f(n) = m$, то есть $n + 1 = m$. Решая это уравнение относительно $n$, находим $n = m - 1$. Поскольку $m$ — нечётное число, то $m-1$ всегда является чётным числом, а значит, $n = m-1 \in E$. Таким образом, для любого элемента $m \in O$ мы нашли его прообраз $n \in E$. Следовательно, функция $f$ сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = n + 1$ является и инъективной, и сюръективной, она является биекцией между множествами $E$ и $O$. Существование биекции доказывает, что эти множества равномощны.

Ответ: Множества чётных и нечётных чисел равномощны, так как между ними можно установить биективное соответствие, например, с помощью функции $f(n) = n+1$, которая каждому чётному числу $n$ ставит в соответствие нечётное число.