Номер 2.5, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.5. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $4n + 1 (n \in N)$.

Для установления взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$ и множеством чисел вида $4n+1$ (где $n \in N$), которое обозначим как $M = \{5, 9, 13, \ldots\}$, необходимо найти биективную функцию $f: N \rightarrow M$. Биекция — это отображение, которое является одновременно инъективным (разным элементам области определения соответствуют разные элементы области значений) и сюръективным (каждый элемент области значений является образом хотя бы одного элемента области определения).

Рассмотрим функцию $f(k) = 4k + 1$, которая каждому натуральному числу $k \in N$ ставит в соответствие число $4k+1$. По определению, любое число вида $4k+1$ (где $k \in N$) принадлежит множеству $M$. Таким образом, $f$ отображает $N$ в $M$.

Проверим, является ли это отображение биективным, доказав его инъективность и сюръективность.

1. Инъективность.
Пусть $k_1, k_2 \in N$ и $f(k_1) = f(k_2)$. Тогда:
$4k_1 + 1 = 4k_2 + 1$
$4k_1 = 4k_2$
$k_1 = k_2$
Это означает, что разным натуральным числам соответствуют разные числа из множества $M$. Следовательно, функция инъективна.

2. Сюръективность.
Возьмем произвольный элемент $m \in M$. По определению множества $M$, этот элемент можно представить в виде $m = 4n + 1$ для некоторого натурального числа $n \in N$. Нам нужно найти такое $k \in N$, что $f(k) = m$.
$4k + 1 = m$
$4k + 1 = 4n + 1$
$4k = 4n$
$k = n$
Поскольку $n$ — натуральное число, то и $k=n$ является натуральным числом. Это значит, что для любого элемента $m$ из множества $M$ существует прообраз $k$ в множестве $N$. Следовательно, функция сюръективна.

Так как функция $f(k) = 4k + 1$ является одновременно инъективной и сюръективной, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством чисел вида $4n+1$ ($n \in N$).

Ответ: Взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством чисел вида $4n+1$ ($n \in N$) задается функцией $f(k) = 4k+1$, где $k \in N$.