Номер 2.9, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.9. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания, или тех, у которых цифры записаны в порядке убывания?

Для ответа на этот вопрос необходимо подсчитать количество пятизначных чисел для каждого из двух указанных условий и сравнить полученные результаты.

тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания

Пусть пятизначное число состоит из цифр $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$. Если цифры записаны в порядке возрастания, это означает, что выполняется строгое неравенство: $d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5$.

По определению пятизначного числа, его первая цифра $d_1$ не может быть нулем ($d_1 \ne 0$). Из условия $d_1 > 0$ и цепочки неравенств следует, что все цифры числа должны быть больше нуля. Таким образом, для составления таких чисел можно использовать только цифры из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Поскольку все цифры в числе должны быть различны (из-за строгого неравенства), задача сводится к тому, чтобы выбрать 5 различных цифр из 9 доступных (от 1 до 9). После того как 5 цифр выбраны, их можно расположить в порядке возрастания только одним способом. Например, если выбраны цифры {2, 5, 6, 8, 9}, то можно составить только одно число — 25689.

Количество способов выбрать 5 элементов из 9 без учета порядка — это число сочетаний из 9 по 5, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=9$ и $k=5$:

$C_9^5 = \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$.

Ответ: Существует 126 пятизначных чисел, у которых цифры записаны в порядке возрастания.

тех, у которых цифры записаны в порядке убывания

В этом случае для цифр пятизначного числа $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$ должно выполняться условие: $d_1 > d_2 > d_3 > d_4 > d_5$.

Здесь цифры также должны быть различными. Однако теперь мы можем использовать все 10 цифр из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Задача сводится к выбору 5 различных цифр из 10 доступных. Как только мы выберем 5 любых различных цифр, их можно расположить в порядке убывания единственным способом. Например, из набора {8, 5, 2, 1, 0} можно составить только число 85210. Важно отметить, что первая цифра такого числа никогда не будет нулем, так как она всегда будет самой большой из пяти выбранных, а выбрать пять нулей невозможно, так как все цифры должны быть различными.

Количество способов выбрать 5 различных цифр из 10 равно числу сочетаний из 10 по 5:

$C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

Ответ: Существует 252 пятизначных числа, у которых цифры записаны в порядке убывания.

Сравнение результатов

Сравнивая количество чисел в обоих случаях, получаем:

• Чисел с цифрами в порядке возрастания: 126.
• Чисел с цифрами в порядке убывания: 252.

Поскольку $252 > 126$, чисел, у которых цифры записаны в порядке убывания, больше.

Ответ: Пятизначных чисел, у которых цифры записаны в порядке убывания, больше.