Номер 2.16, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.16. Каких трёхзначных чисел больше: тех, у которых вторая цифра в десятичной записи больше первой и третьей, или тех, у которых вторая цифра меньше первой и третьей?

Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить количество трёхзначных чисел, удовлетворяющих двум разным условиям. Пусть трёхзначное число представлено в виде $\overline{abc}$, где $a$, $b$ и $c$ — его цифры. Поскольку число трёхзначное, первая цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, в то время как $b$ и $c$ могут быть любыми цифрами от 0 до 9, то есть $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Разобьём задачу на две части и подсчитаем количество чисел в каждой группе.

Количество чисел, у которых вторая цифра больше первой и третьей ($b > a$ и $b > c$)

Будем перебирать все возможные значения для второй цифры $b$ и для каждого из них считать, сколько существует подходящих цифр $a$ и $c$.

Для заданного $b$ первая цифра $a$ должна удовлетворять условиям $1 \le a < b$. Количество таких вариантов равно $b-1$.

Третья цифра $c$ должна удовлетворять условию $0 \le c < b$. Количество таких вариантов равно $b$.

Таким образом, для каждого значения $b$ количество подходящих чисел равно $(b-1) \times b$. Просуммируем эти количества для всех возможных $b$.

• Если $b=0$ или $b=1$, то не существует цифры $a$ в диапазоне $1 \le a < b$. Количество чисел равно 0.
• Если $b=2$, $a$ может быть только 1 (1 вариант), $c$ может быть 0 или 1 (2 варианта). Всего: $1 \times 2 = 2$ числа.
• Если $b=3$, $a \in \{1, 2\}$ (2 варианта), $c \in \{0, 1, 2\}$ (3 варианта). Всего: $2 \times 3 = 6$ чисел.
• Если $b=4$, $a \in \{1, 2, 3\}$ (3 варианта), $c \in \{0, 1, 2, 3\}$ (4 варианта). Всего: $3 \times 4 = 12$ чисел.
• Если $b=5$, $a \in \{1, 2, 3, 4\}$ (4 варианта), $c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ (5 вариантов). Всего: $4 \times 5 = 20$ чисел.
• Если $b=6$, $a \in \{1,...,5\}$ (5 вариантов), $c \in \{0,...,5\}$ (6 вариантов). Всего: $5 \times 6 = 30$ чисел.
• Если $b=7$, $a \in \{1,...,6\}$ (6 вариантов), $c \in \{0,...,6\}$ (7 вариантов). Всего: $6 \times 7 = 42$ числа.
• Если $b=8$, $a \in \{1,...,7\}$ (7 вариантов), $c \in \{0,...,7\}$ (8 вариантов). Всего: $7 \times 8 = 56$ чисел.
• Если $b=9$, $a \in \{1,...,8\}$ (8 вариантов), $c \in \{0,...,8\}$ (9 вариантов). Всего: $8 \times 9 = 72$ числа.

Общее количество чисел $N_1$ в этой группе равно сумме всех найденных значений:

$N_1 = 0 + 0 + 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 = 240$

Количество чисел, у которых вторая цифра меньше первой и третьей ($b < a$ и $b < c$)

Аналогично, будем перебирать все возможные значения для второй цифры $b$.

Для заданного $b$ первая цифра $a$ должна удовлетворять условиям $b < a \le 9$. Количество таких вариантов равно $9-b$.

Третья цифра $c$ должна удовлетворять условию $b < c \le 9$. Количество таких вариантов также равно $9-b$.

Таким образом, для каждого значения $b$ количество подходящих чисел равно $(9-b) \times (9-b) = (9-b)^2$. Просуммируем эти количества для всех возможных $b$.

• Если $b=0$, $a \in \{1,...,9\}$ (9 вариантов), $c \in \{1,...,9\}$ (9 вариантов). Всего: $9 \times 9 = 81$ число.
• Если $b=1$, $a \in \{2,...,9\}$ (8 вариантов), $c \in \{2,...,9\}$ (8 вариантов). Всего: $8 \times 8 = 64$ числа.
• Если $b=2$, $a \in \{3,...,9\}$ (7 вариантов), $c \in \{3,...,9\}$ (7 вариантов). Всего: $7 \times 7 = 49$ чисел.
• Если $b=3$, $a \in \{4,...,9\}$ (6 вариантов), $c \in \{4,...,9\}$ (6 вариантов). Всего: $6 \times 6 = 36$ чисел.
• Если $b=4$, $a \in \{5,...,9\}$ (5 вариантов), $c \in \{5,...,9\}$ (5 вариантов). Всего: $5 \times 5 = 25$ чисел.
• Если $b=5$, $a \in \{6,...,9\}$ (4 варианта), $c \in \{6,...,9\}$ (4 варианта). Всего: $4 \times 4 = 16$ чисел.
• Если $b=6$, $a \in \{7,8,9\}$ (3 варианта), $c \in \{7,8,9\}$ (3 варианта). Всего: $3 \times 3 = 9$ чисел.
• Если $b=7$, $a \in \{8,9\}$ (2 варианта), $c \in \{8,9\}$ (2 варианта). Всего: $2 \times 2 = 4$ числа.
• Если $b=8$, $a=9$ (1 вариант), $c=9$ (1 вариант). Всего: $1 \times 1 = 1$ число.
• Если $b=9$, то не существует цифр, больших 9. Количество чисел равно 0.

Общее количество чисел $N_2$ в этой группе равно сумме:

$N_2 = 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 285$

Сравнив полученные результаты, $N_1 = 240$ и $N_2 = 285$, мы видим, что $N_2 > N_1$.

Ответ: Трёхзначных чисел, у которых вторая цифра в десятичной записи меньше первой и третьей, больше.