Номер 2.17, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.17. Покажите, что множество точек прямой и множество точек окружности с «выколотой» точкой равномощны.

Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Чтобы доказать, что множество точек прямой и множество точек окружности с одной «выколотой» точкой равномощны, мы построим такую биекцию с помощью геометрического метода, известного как стереографическая проекция.

Рассмотрим координатную плоскость $Oxy$. Пусть прямая является осью абсцисс $Ox$, то есть множеством точек $L = \{(t, 0) | t \in \mathbb{R}\}$. В качестве окружности $C$ возьмем окружность радиусом $1$ с центром в точке $(0, 1)$. Уравнение такой окружности: $x^2 + (y-1)^2 = 1$. «Выколотой» точкой на окружности выберем ее самую верхнюю точку, «северный полюс», $N = (0, 2)$.

Теперь определим отображение $f$ из множества точек прямой $L$ в множество точек окружности без точки $N$, то есть $C \setminus \{N\}$. Для любой точки $P(t, 0)$ на прямой $L$ проведем прямую через $P$ и «северный полюс» $N$. Эта прямая пересечет окружность $C$ в двух точках: в самой точке $N$ и еще в одной точке $Q(x, y)$. Поставим в соответствие точке $P$ точку $Q$. Таким образом, $f(P) = Q$.

Покажем, что построенное отображение $f$ является биекцией.
1. Инъективность (разным точкам прямой соответствуют разные точки окружности). Пусть $P_1$ и $P_2$ — две разные точки на прямой $L$. Тогда прямые $NP_1$ и $NP_2$ — это две разные прямые, проходящие через точку $N$. Они пересекают окружность в точках $Q_1 = f(P_1)$ и $Q_2 = f(P_2)$ соответственно. Так как $Q_1$ и $Q_2$ лежат на разных прямых, они не могут совпадать. Значит, отображение инъективно.
2. Сюръективность (каждая точка окружности, кроме $N$, имеет свой прообраз на прямой). Возьмем любую точку $Q$ на окружности $C$, отличную от $N$. Проведем прямую через $N$ и $Q$. Поскольку $Q \neq N$, эта прямая не будет горизонтальной, а значит, она обязательно пересечет ось $Ox$ в некоторой единственной точке $P$. Эта точка $P$ и является прообразом точки $Q$, то есть $f(P) = Q$. Следовательно, отображение сюръективно.

Так как отображение $f$ является и инъективным, и сюръективным, оно является биекцией. Существование биекции между множеством точек прямой и множеством точек окружности с «выколотой» точкой доказывает, что эти множества равномощны.

Для полноты доказательства можно привести и аналитические формулы для этой биекции. Если точка на прямой имеет координаты $P(t,0)$, то соответствующая ей точка на окружности $Q(x,y)$ имеет координаты:$x = \frac{4t}{t^2+4}$, $y = \frac{2t^2}{t^2+4}$. Обратное отображение, ставящее в соответствие точке $Q(x,y)$ на окружности (где $y \neq 2$) точку $P(t,0)$ на прямой, задается формулой:$t = \frac{2x}{2-y}$. Наличие этих взаимно-обратных отображений является строгим доказательством биекции.

Ответ: Множество точек прямой и множество точек окружности с «выколотой» точкой равномощны, поскольку между ними существует взаимно-однозначное соответствие (биекция), которое можно задать, например, с помощью стереографической проекции.