Номер 3.4, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.4. Даны два высказывания:

$A = \{2 = 3\}$, $B = \{2 \text{ --- простое число}\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \wedge B$;

2) $A \vee B$;

3) $A \Rightarrow B$;

4) $A \Leftrightarrow B$;

5) $\overline{A}$;

6) $\overline{B}$.

Для решения задачи сначала определим истинность или ложность каждого из исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $A = \{2 = 3\}$. Это математическое равенство неверно, так как 2 не равно 3. Следовательно, высказывание A является ложным (Л или 0).

Высказывание B: $B = \{2 \text{ — простое число}\}$. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Число 2 полностью соответствует этому определению (его делители — 1 и 2). Следовательно, высказывание B является истинным (И или 1).

Теперь, зная, что A — ложно (0), а B — истинно (1), определим истинность составных высказываний.

1) $A \wedge B$

Конъюнкция (логическое "И") $A \wedge B$ истинна только в том случае, если оба высказывания A и B истинны. Поскольку высказывание A ложно, результат конъюнкции будет ложным.

Формально: $0 \wedge 1 = 0$ (Ложь).

Ответ: высказывание $A \wedge B$ ложно.

2) $A \vee B$

Дизъюнкция (логическое "ИЛИ") $A \vee B$ истинна, если хотя бы одно из высказываний A или B истинно. Так как высказывание B истинно, результат дизъюнкции будет истинным.

Формально: $0 \vee 1 = 1$ (Истина).

Ответ: высказывание $A \vee B$ истинно.

3) $A \Rightarrow B$

Импликация (логическое следование "если A, то B") $A \Rightarrow B$ ложна только тогда, когда из истинной посылки (A) следует ложное заключение (B). В нашем случае посылка A ложна. Из ложной посылки может следовать что угодно, поэтому импликация всегда будет истинной.

Формально: $0 \Rightarrow 1 = 1$ (Истина).

Ответ: высказывание $A \Rightarrow B$ истинно.

4) $A \Leftrightarrow B$

Эквиваленция (равносильность "A тогда и только тогда, когда B") $A \Leftrightarrow B$ истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). У нас A ложно, а B истинно, их значения истинности не совпадают.

Формально: $0 \Leftrightarrow 1 = 0$ (Ложь).

Ответ: высказывание $A \Leftrightarrow B$ ложно.

5) $\bar{A}$

Отрицание (логическое "НЕ") $\bar{A}$ имеет значение истинности, противоположное A. Так как A ложно, его отрицание $\bar{A}$ будет истинным.

Формально: $\bar{0} = 1$ (Истина).

Ответ: высказывание $\bar{A}$ истинно.

6) $\bar{B}$

Отрицание $\bar{B}$ имеет значение истинности, противоположное B. Так как B истинно, его отрицание $\bar{B}$ будет ложным.

Формально: $\bar{1} = 0$ (Ложь).

Ответ: высказывание $\bar{B}$ ложно.