Номер 3.8, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.8. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания, причём $f(A \land B) = 1$. Найдите:

1) $f(\overline{A} \lor B)$;

2) $f(A \Rightarrow \overline{B})$;

3) $f(\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B})$;

4) $f(\overline{B} \Rightarrow A)$.

По условию, $f$ — функция истинности, и $f(A \wedge B) = 1$. Это означает, что высказывание $A \wedge B$ является истинным. Логическая операция конъюнкции (логическое "И", $\wedge$) истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, $A$ и $B$, истинны.

Следовательно, высказывание $A$ истинно и высказывание $B$ истинно.

Будем обозначать истину как 1, а ложь как 0. Таким образом, мы имеем:

$A = 1$

$B = 1$

Значение функции истинности $f$ от некоторого высказывания равно значению истинности этого высказывания. Теперь найдем значения истинности для каждого из выражений.

1) $f(\overline{A} \vee \overline{B})$

Поскольку $A=1$ и $B=1$, их отрицания равны $\overline{A}=0$ и $\overline{B}=0$.

Подставим эти значения в выражение:

$\overline{A} \vee \overline{B} = 0 \vee 0 = 0$ (ложь).

Операция дизъюнкции (логическое "ИЛИ", $\vee$) ложна, только когда оба операнда ложны.

Таким образом, значение истинности выражения $\overline{A} \vee \overline{B}$ равно 0.

Следовательно, $f(\overline{A} \vee \overline{B}) = 0$.

Ответ: 0

2) $f(A \Rightarrow \overline{B})$

Мы знаем, что $A=1$ и $\overline{B}=0$ (поскольку $B=1$).

Подставим эти значения в выражение:

$A \Rightarrow \overline{B} = 1 \Rightarrow 0 = 0$ (ложь).

Операция импликации ($\Rightarrow$) ложна только в том случае, когда из истинной посылки следует ложное заключение.

Таким образом, значение истинности выражения $A \Rightarrow \overline{B}$ равно 0.

Следовательно, $f(A \Rightarrow \overline{B}) = 0$.

Ответ: 0

3) $f(\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B})$

Мы знаем, что $\overline{A}=0$ и $\overline{B}=0$.

Подставим эти значения в выражение:

$\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B} = 0 \Leftrightarrow 0 = 1$ (истина).

Операция эквиваленции ($\Leftrightarrow$) истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности.

Таким образом, значение истинности выражения $\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B}$ равно 1.

Следовательно, $f(\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B}) = 1$.

Ответ: 1

4) $f(\overline{B} \Rightarrow A)$

Мы знаем, что $\overline{B}=0$ и $A=1$.

Подставим эти значения в выражение:

$\overline{B} \Rightarrow A = 0 \Rightarrow 1 = 1$ (истина).

Операция импликации ($\Rightarrow$) истинна, если посылка ложна. В данном случае посылка $\overline{B}$ ложна.

Таким образом, значение истинности выражения $\overline{B} \Rightarrow A$ равно 1.

Следовательно, $f(\overline{B} \Rightarrow A) = 1$.

Ответ: 1