gdz.top
Номер 3.13, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 3. Высказывания и операции над ними - номер 3.13, страница 29.
№3.12
№3.13 (с. 29)
Условие. №3.13 (с. 29)
3.13. Докажите, что:
1) $\overline{\overline{A}} = A;$
2) $A \wedge A = A;$
3) $A \vee A = A;$
4) $A \vee B = B \vee A;$
5) $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C;$
6) $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C);$
7) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C);$
8) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B};$
9) $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B};$
10) $(A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A};$
11) $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B}).$
Решение. №3.13 (с. 29)
1) Докажем тождество $\overline{\overline{A}} = A$ (закон двойного отрицания) с помощью таблицы истинности. Пусть 1 обозначает "истина", а 0 - "ложь".
| $A$ | $\overline{A}$ | $\overline{\overline{A}}$ |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Сравнивая первый и третий столбцы таблицы, мы видим, что они полностью совпадают для всех возможных значений $A$. Это означает, что выражения $A$ и $\overline{\overline{A}}$ эквивалентны.
Ответ: Тождество доказано.
2) Докажем тождество $A \wedge A = A$ (закон идемпотентности для конъюнкции) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $A \wedge A$ |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
Столбцы для $A$ и $A \wedge A$ полностью совпадают, что доказывает тождество.
Ответ: Тождество доказано.
3) Докажем тождество $A \vee A = A$ (закон идемпотентности для дизъюнкции) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $A \vee A$ |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
Столбцы для $A$ и $A \vee A$ полностью совпадают, что доказывает тождество.
Ответ: Тождество доказано.
4) Докажем тождество $A \vee B = B \vee A$ (коммутативный закон для дизъюнкции) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $A \vee B$ | $B \vee A$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$ полностью совпадают при всех наборах значений переменных, следовательно, тождество верно.
Ответ: Тождество доказано.
5) Докажем тождество $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$ (ассоциативный закон для дизъюнкции) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $C$ | $B \vee C$ | $A \vee (B \vee C)$ | $A \vee B$ | $(A \vee B) \vee C$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Сравнивая пятый и седьмой столбцы, видим их полное совпадение. Это доказывает справедливость тождества.
Ответ: Тождество доказано.
6) Докажем тождество $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ (дистрибутивный закон) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $C$ | $B \vee C$ | $A \wedge (B \vee C)$ | $A \wedge B$ | $A \wedge C$ | $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Столбцы для $A \wedge (B \vee C)$ и $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.
7) Докажем тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ (дистрибутивный закон) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $C$ | $B \wedge C$ | $A \vee (B \wedge C)$ | $A \vee B$ | $A \vee C$ | $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Столбцы для $A \vee (B \wedge C)$ и $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.
8) Докажем тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ (первый закон де Моргана) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $A \vee B$ | $\overline{A \vee B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A} \wedge \overline{B}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.
9) Докажем тождество $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$ (второй закон де Моргана) с помощью таблицы истинности.
| $A$ | $B$ | $A \wedge B$ | $\overline{A \wedge B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A} \vee \overline{B}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Столбцы для $\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.
10) Докажем тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ (закон контрапозиции). Импликация $X \Rightarrow Y$ ложна только в том случае, когда $X$ истинно, а $Y$ ложно. Составим таблицу истинности.
| $A$ | $B$ | $A \Rightarrow B$ | $\overline{B}$ | $\overline{A}$ | $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Столбцы для $(A \Rightarrow B)$ и $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.
11) Докажем тождество $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$. Эквиваленция $A \Leftrightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ имеют одинаковое значение истинности. Построим таблицу истинности.
| $A$ | $B$ | $A \Leftrightarrow B$ | $A \wedge B$ | $\overline{A}$ | $\overline{B}$ | $\overline{A} \wedge \overline{B}$ | $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Столбцы для $A \Leftrightarrow B$ и $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3.13 расположенного на странице 29 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.13 (с. 29), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.