Страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.9. Составьте таблицу истинности для логического выражения:

1) $\bar{A} \Rightarrow B;$

2) $(A \vee B) \wedge C;$

3) $(A \wedge B) \Rightarrow C;$

4) $(A \wedge \bar{C}) \Rightarrow B.$

Для построения таблиц истинности будем использовать следующие обозначения: 1 – «истина», 0 – «ложь». Логические операции: $ \overline{A} $ – отрицание (НЕ), $ \land $ – конъюнкция (И), $ \lor $ – дизъюнкция (ИЛИ), $ \Rightarrow $ – импликация (следование).

1) $ \overline{A} \Rightarrow B $

Данное логическое выражение содержит две переменные, $A$ и $B$. Следовательно, таблица истинности будет содержать $2^2 = 4$ строки с возможными наборами значений этих переменных.
Порядок действий:
1. Выполнить операцию отрицания над $A$ ($ \overline{A} $).
2. Выполнить операцию импликации, где посылкой является результат первого действия ($ \overline{A} $), а следствием – $B$. Импликация $X \Rightarrow Y$ ложна только тогда, когда $X$ истинно, а $Y$ ложно.

Ответ: 0111

2) $ (A \lor B) \land C $

Данное логическое выражение содержит три переменные: $A$, $B$ и $C$. Следовательно, таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк.
Порядок действий:
1. Выполнить операцию дизъюнкции (логическое ИЛИ) для $A$ и $B$. Результат истинен, если хотя бы один из операндов истинен.
2. Выполнить операцию конъюнкции (логическое И) между результатом первого действия ($A \lor B$) и $C$. Результат истинен, только если оба операнда истинны.

Ответ: 00010101

3) $ (A \land B) \Rightarrow C $

Данное логическое выражение содержит три переменные: $A$, $B$ и $C$. Таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк.
Порядок действий:
1. Выполнить операцию конъюнкции (логическое И) для $A$ и $B$.
2. Выполнить операцию импликации между результатом первого действия ($A \land B$) и $C$.

Ответ: 11111101

4) $ (A \land \overline{C}) \Rightarrow B $

Данное логическое выражение содержит три переменные: $A$, $B$ и $C$. Таблица истинности будет содержать $2^3 = 8$ строк.
Порядок действий:
1. Выполнить операцию отрицания над $C$ ($ \overline{C} $).
2. Выполнить операцию конъюнкции (логическое И) между $A$ и результатом первого действия ($ \overline{C} $).
3. Выполнить операцию импликации между результатом второго действия ($A \land \overline{C}$) и $B$.

Ответ: 11110111

3.10. Составьте таблицу истинности для логического выражения:

1) $\overline{A} \vee B$;

2) $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$;

3) $(\overline{A} \vee \overline{B}) \wedge (B \vee C)$.

1) $\overline{A} \vee B$

Для построения таблицы истинности для выражения $\overline{A} \vee B$, нам понадобятся два логических переменных: $A$ и $B$. Таблица будет содержать $2^2=4$ строки, представляющие все возможные комбинации значений этих переменных (где 0 - ложь, а 1 - истина).

Порядок вычислений:

1. Заполняем столбцы для исходных переменных $A$ и $B$.
2. Вычисляем значение инверсии $A$ (операция НЕ), то есть $\overline{A}$.
3. Вычисляем значение дизъюнкции (логическое ИЛИ) между $\overline{A}$ и $B$, то есть $\overline{A} \vee B$. Результат будет истинным (1), если хотя бы один из операндов истинен.

Итоговая таблица истинности:

Ответ: Значения в столбце $\overline{A} \vee B$ для наборов (A, B) соответственно (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) равны 1, 1, 0, 1.

2) $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$

Для выражения $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ также используются две переменные, $A$ и $B$, поэтому таблица будет состоять из 4 строк.

Порядок вычислений:

1. Заполняем столбцы для исходных переменных $A$ и $B$.
2. Вычисляем значения инверсии $B$ ($\overline{B}$) и инверсии $A$ ($\overline{A}$).
3. Вычисляем значение импликации (логическое СЛЕДОВАНИЕ) из $\overline{B}$ в $\overline{A}$. Импликация $X \Rightarrow Y$ ложна (0) только в одном случае: когда посылка $X$ истинна (1), а следствие $Y$ ложно (0).

Итоговая таблица истинности:

Ответ: Значения в столбце $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ для наборов (A, B) соответственно (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) равны 1, 1, 0, 1.

3) $(\overline{A} \vee \overline{B}) \wedge (B \vee C)$

Данное выражение включает три логические переменные: $A$, $B$ и $C$. Следовательно, таблица истинности будет содержать $2^3=8$ строк со всеми возможными комбинациями их значений.

Порядок вычислений:

1. Заполняем столбцы для исходных переменных $A$, $B$ и $C$.
2. Вычисляем инверсии $\overline{A}$ и $\overline{B}$.
3. Вычисляем значение первой скобки: дизъюнкцию $\overline{A} \vee \overline{B}$.
4. Вычисляем значение второй скобки: дизъюнкцию $B \vee C$.
5. Вычисляем значение конъюнкции (логическое И) между результатами двух скобок. Конъюнкция истинна (1) только тогда, когда оба операнда истинны.

Итоговая таблица истинности:

Ответ: Значения в столбце $(\overline{A} \vee \overline{B}) \wedge (B \vee C)$ для наборов (A, B, C) от (0,0,0) до (1,1,1) равны 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0.

3.11. Электрическая цепь между точками $M$ и $N$ составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.1. Рассмотрим высказывания:

$A = \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\};$

$B = \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}.$

Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности $f$:

1) $f(A \wedge B) = 1;$

2) $f(A \wedge B) = 0;$

3) $f(A \vee B) = 0;$

4) $f(\bar{A} \wedge B) = 1;$

5) $f(\bar{A} \vee B) = 0.$

Рис. 3.1

На схеме (рис. 3.1) элементы $m$ и $n$ соединены параллельно. Электрическая цепь между точками $M$ и $N$ будет замкнутой, если хотя бы один из элементов ($m$ или $n$) функционирует нормально.

Пусть $A$ — высказывание «элемент $m$ функционирует нормально», а $B$ — высказывание «элемент $n$ функционирует нормально». Тогда состояние всей цепи можно описать с помощью логической функции — дизъюнкции (логического «ИЛИ»): $C = A \vee B$.

Цепь замкнута, если высказывание $C$ истинно, то есть $f(A \vee B) = 1$.

Цепь не замкнута (разомкнута), если высказывание $C$ ложно, то есть $f(A \vee B) = 0$.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) $f(A \wedge B) = 1$

Условие $f(A \wedge B) = 1$ означает, что конъюнкция (логическое «И») высказываний $A$ и $B$ истинна. Это возможно только в том случае, когда оба высказывания истинны, то есть $f(A) = 1$ и $f(B) = 1$. Это означает, что оба элемента, $m$ и $n$, функционируют нормально.

Проверим состояние цепи: $f(A \vee B) = 1 \vee 1 = 1$.

Поскольку результат равен 1, цепь является замкнутой.

Ответ: цепь замкнута.

2) $f(A \wedge B) = 0$

Условие $f(A \wedge B) = 0$ означает, что конъюнкция высказываний $A$ и $B$ ложна. Это происходит, если хотя бы одно из высказываний ложно. Возможны три комбинации значений истинности для $(A, B)$:

• $f(A)=1, f(B)=0$. Тогда $f(A \vee B) = 1 \vee 0 = 1$ (цепь замкнута).
• $f(A)=0, f(B)=1$. Тогда $f(A \vee B) = 0 \vee 1 = 1$ (цепь замкнута).
• $f(A)=0, f(B)=0$. Тогда $f(A \vee B) = 0 \vee 0 = 0$ (цепь не замкнута).

Так как из данного условия невозможно однозначно определить состояние цепи (она может быть как замкнутой, так и разомкнутой), дать определенный ответ нельзя.

Ответ: определить невозможно.

3) $f(A \vee B) = 0$

Это условие напрямую задает значение истинности для функции, описывающей состояние всей цепи. $f(A \vee B) = 0$ означает, что дизъюнкция высказываний $A$ и $B$ ложна. Это возможно только в том случае, когда оба высказывания ложны: $f(A) = 0$ и $f(B) = 0$.

Ни один из элементов не функционирует, следовательно, цепь не является замкнутой.

Ответ: цепь не замкнута.

4) $f(\bar{A} \wedge B) = 1$

Условие $f(\bar{A} \wedge B) = 1$ означает, что конъюнкция высказываний $\bar{A}$ (отрицание $A$) и $B$ истинна. Это возможно, только если оба высказывания истинны: $f(\bar{A}) = 1$ и $f(B) = 1$.

Из $f(\bar{A}) = 1$ следует, что $f(A) = 0$ (элемент $m$ не функционирует).

Из $f(B) = 1$ следует, что элемент $n$ функционирует.

Проверим состояние цепи: $f(A \vee B) = 0 \vee 1 = 1$.

Поскольку результат равен 1, цепь является замкнутой.

Ответ: цепь замкнута.

5) $f(\bar{A} \vee B) = 0$

Условие $f(\bar{A} \vee B) = 0$ означает, что дизъюнкция высказываний $\bar{A}$ и $B$ ложна. Это возможно, только если оба высказывания ложны: $f(\bar{A}) = 0$ и $f(B) = 0$.

Из $f(\bar{A}) = 0$ следует, что $f(A) = 1$ (элемент $m$ функционирует).

Из $f(B) = 0$ следует, что элемент $n$ не функционирует.

Проверим состояние цепи: $f(A \vee B) = 1 \vee 0 = 1$.

Поскольку результат равен 1, цепь является замкнутой.

Ответ: цепь замкнута.

3.12. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.2. Рассмотрим высказывания:

$A = \{\text{элемент m цепи функционирует нормально}\};$

$B = \{\text{элемент n цепи функционирует нормально}\}.$

Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности $f$:

1) $f (\overline{A} \wedge \overline{B}) = 1;$ 2) $f (\overline{A} \vee B) = 0;$ 3) $f (A \wedge B) = 1.$

Рис. 3.2

Для того чтобы определить, является ли цепь замкнутой, необходимо сначала определить логическую функцию, описывающую ее состояние. На рисунке 3.2 показана электрическая цепь с последовательным соединением элементов $m$ и $n$. Такая цепь будет проводить ток (будет замкнутой) только в том случае, если оба элемента функционируют нормально.

Пусть $A$ — высказывание "элемент $m$ функционирует нормально", а $B$ — "элемент $n$ функционирует нормально". Тогда условие, что цепь замкнута, соответствует истинности высказывания $A \land B$ (логическое "И"). То есть, цепь замкнута, если $f(A \land B) = 1$.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) $f(\bar{A} \land \bar{B}) = 1$;
Условие $f(\bar{A} \land \bar{B}) = 1$ означает, что конъюнкция (логическое "И") высказываний $\bar{A}$ и $\bar{B}$ истинна. Это возможно только тогда, когда оба высказывания истинны: $f(\bar{A}) = 1$ и $f(\bar{B}) = 1$.
Если $f(\bar{A}) = 1$, то $f(A) = 0$. Это означает, что элемент $m$ не функционирует.
Если $f(\bar{B}) = 1$, то $f(B) = 0$. Это означает, что элемент $n$ не функционирует.
Поскольку оба элемента неисправны, цепь не может быть замкнутой. Проверим значение функции для замкнутой цепи:
$f(A \land B) = f(0 \land 0) = 0$.
Поскольку $f(A \land B) = 0$, цепь не является замкнутой.
Ответ: цепь не является замкнутой.

2) $f(\bar{A} \lor B) = 0$;
Условие $f(\bar{A} \lor B) = 0$ означает, что дизъюнкция (логическое "ИЛИ") высказываний $\bar{A}$ и $B$ ложна. Это возможно только тогда, когда оба высказывания ложны: $f(\bar{A}) = 0$ и $f(B) = 0$.
Если $f(\bar{A}) = 0$, то $f(A) = 1$. Это означает, что элемент $m$ функционирует нормально.
Если $f(B) = 0$, это означает, что элемент $n$ не функционирует.
Так как для замкнутости цепи необходима исправность обоих элементов, а элемент $n$ неисправен, цепь не замкнута. Проверим значение функции:
$f(A \land B) = f(1 \land 0) = 0$.
Поскольку $f(A \land B) = 0$, цепь не является замкнутой.
Ответ: цепь не является замкнутой.

3) $f(A \land B) = 1$.
Как было установлено в начале, условие замкнутости цепи с последовательным соединением элементов как раз и описывается высказыванием $A \land B$.
В данном пункте нам прямо дано, что значение функции истинности для этого высказывания равно 1: $f(A \land B) = 1$.
Это означает, что высказывание "элемент $m$ функционирует нормально И элемент $n$ функционирует нормально" является истинным. Следовательно, цепь замкнута.
Ответ: цепь является замкнутой.

3.13. Докажите, что:

1) $\overline{\overline{A}} = A;$

2) $A \wedge A = A;$

3) $A \vee A = A;$

4) $A \vee B = B \vee A;$

5) $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C;$

6) $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C);$

7) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C);$

8) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B};$

9) $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B};$

10) $(A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A};$

11) $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B}).$

1) Докажем тождество $\overline{\overline{A}} = A$ (закон двойного отрицания) с помощью таблицы истинности. Пусть 1 обозначает "истина", а 0 - "ложь".

Сравнивая первый и третий столбцы таблицы, мы видим, что они полностью совпадают для всех возможных значений $A$. Это означает, что выражения $A$ и $\overline{\overline{A}}$ эквивалентны.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $A \wedge A = A$ (закон идемпотентности для конъюнкции) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $A$ и $A \wedge A$ полностью совпадают, что доказывает тождество.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $A \vee A = A$ (закон идемпотентности для дизъюнкции) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $A$ и $A \vee A$ полностью совпадают, что доказывает тождество.
Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $A \vee B = B \vee A$ (коммутативный закон для дизъюнкции) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$ полностью совпадают при всех наборах значений переменных, следовательно, тождество верно.
Ответ: Тождество доказано.

5) Докажем тождество $A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C$ (ассоциативный закон для дизъюнкции) с помощью таблицы истинности.

Сравнивая пятый и седьмой столбцы, видим их полное совпадение. Это доказывает справедливость тождества.
Ответ: Тождество доказано.

6) Докажем тождество $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ (дистрибутивный закон) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $A \wedge (B \vee C)$ и $(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.

7) Докажем тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ (дистрибутивный закон) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $A \vee (B \wedge C)$ и $(A \vee B) \wedge (A \vee C)$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.

8) Докажем тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ (первый закон де Моргана) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.

9) Докажем тождество $\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$ (второй закон де Моргана) с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $\overline{A \wedge B}$ и $\overline{A} \vee \overline{B}$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.

10) Докажем тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ (закон контрапозиции). Импликация $X \Rightarrow Y$ ложна только в том случае, когда $X$ истинно, а $Y$ ложно. Составим таблицу истинности.

Столбцы для $(A \Rightarrow B)$ и $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.

11) Докажем тождество $A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$. Эквиваленция $A \Leftrightarrow B$ истинна тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ имеют одинаковое значение истинности. Построим таблицу истинности.

Столбцы для $A \Leftrightarrow B$ и $(A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})$ полностью совпадают.
Ответ: Тождество доказано.