Страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.14. Докажите, что логическое выражение является тавтологией:

1) $A \Rightarrow A$;

2) $A \wedge \overline{A}$;

3) $A \wedge \overline{A} \Rightarrow B$;

4) $A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$;

5) $(A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)$;

6) $A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$;

7) $\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}$;

8) $((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$.

Для доказательства того, что логическое выражение является тавтологией, необходимо показать, что оно истинно при любых значениях входящих в него переменных. Мы будем использовать таблицы истинности или равносильные логические преобразования. В таблицах истинности будем использовать 1 для "Истина" и 0 для "Ложь".

Данное выражение основано на законе двойного отрицания, согласно которому $\overline{\overline{A}} \equiv A$. Таким образом, исходное выражение эквивалентно $A \Rightarrow A$.

Докажем, что $A \Rightarrow A$ является тавтологией, составив таблицу истинности:

Поскольку результат всегда равен 1 (Истина), выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Это выражение является законом непротиворечия. Выражение $A \wedge \overline{A}$ всегда ложно (противоречие). Отрицание лжи всегда является истиной. Докажем это с помощью таблицы истинности.

Последний столбец содержит только единицы, следовательно, выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Это выражение известно как "принцип взрыва" (ex falso quodlibet), согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение. Выражение $A \wedge \overline{A}$ является противоречием и всегда ложно (равно 0).

Рассмотрим импликацию $P \Rightarrow Q$. Она ложна только в одном случае: когда $P$ истинно, а $Q$ ложно. В нашем случае посылка $A \wedge \overline{A}$ всегда ложна. Когда посылка импликации ложна, вся импликация истинна, независимо от значения следствия $B$.

Проверим это с помощью таблицы истинности:

Результат всегда истинен, что подтверждает, что выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Составим таблицу истинности для данного выражения.

Так как последний столбец таблицы истинности содержит только единицы, выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Составим таблицу истинности.

Результат всегда истинен, следовательно, выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Это правило вывода называется Modus Ponens. Докажем его с помощью таблицы истинности.

Последний столбец содержит только единицы, значит, выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Это правило вывода называется Modus Tollens. Докажем его с помощью таблицы истинности.

Результат в последнем столбце всегда истинен, что доказывает, что выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

Это правило вывода называется "закон транзитивности импликации" или "гипотетический силлогизм". Для доказательства составим таблицу истинности для трех переменных $A, B, C$.

Последний столбец таблицы содержит только единицы, следовательно, данное логическое выражение является тавтологией.

Ответ: Выражение является тавтологией.

3.15. Через операции конъюнкции и отрицания выразите операцию:

1) дизъюнкции;

2) импликации.

1) дизъюнкции;
Чтобы выразить дизъюнкцию (логическое ИЛИ) через конъюнкцию (логическое И) и отрицание (НЕ), воспользуемся законами де Моргана. Один из законов де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:
$\neg(A \vee B) = \neg A \wedge \neg B$
Чтобы получить выражение для $A \vee B$, мы можем применить операцию отрицания к обеим частям этого тождества. Используя закон двойного отрицания ($\neg(\neg X) = X$), получим:
$\neg(\neg(A \vee B)) = \neg(\neg A \wedge \neg B)$
$A \vee B = \neg(\neg A \wedge \neg B)$
Таким образом, операция дизъюнкции выражена через операции конъюнкции и отрицания.
Ответ: $A \vee B = \neg(\neg A \wedge \neg B)$

2) импликации;
Сначала выразим импликацию (логическое следование) через дизъюнкцию и отрицание. По определению, импликация эквивалентна следующему выражению:
$A \to B = \neg A \vee B$
Теперь мы можем использовать результат, полученный в предыдущем пункте, чтобы заменить операцию дизъюнкции. Мы уже знаем, что $X \vee Y = \neg(\neg X \wedge \neg Y)$.
Подставим в эту формулу $\neg A$ вместо $X$ и $B$ вместо $Y$:
$\neg A \vee B = \neg(\neg(\neg A) \wedge \neg B)$
Применив закон двойного отрицания к $\neg(\neg A)$, мы получим $A$. Таким образом, выражение упрощается:
$\neg(A \wedge \neg B)$
Следовательно, импликация выражается через конъюнкцию и отрицание следующим образом:
$A \to B = \neg(A \wedge \neg B)$
Ответ: $A \to B = \neg(A \wedge \neg B)$

3.16. Выразите операцию конъюнкции через операции дизъюнкции и отрицания.

3.16.

Для того чтобы выразить операцию конъюнкции (логическое «И») через операции дизъюнкции (логическое «ИЛИ») и отрицания (логическое «НЕ»), можно воспользоваться законами де Моргана.

Один из законов де Моргана устанавливает следующее тождество:

$\lnot(A \land B) \equiv \lnot A \lor \lnot B$

Это равенство показывает, как выразить отрицание конъюнкции через дизъюнкцию и отрицания. Чтобы получить выражение для самой конъюнкции $A \land B$, мы можем применить операцию отрицания к обеим частям этого тождества:

$\lnot(\lnot(A \land B)) \equiv \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$

В левой части выражения мы видим двойное отрицание. Согласно закону двойного отрицания, $\lnot(\lnot P) \equiv P$. Применив этот закон, мы получаем искомое выражение для конъюнкции:

$A \land B \equiv \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$

Таким образом, мы выразили операцию конъюнкции, используя только операции дизъюнкции и отрицания.

Для проверки правильности полученного выражения можно составить таблицу истинности.

Как видно из таблицы, столбцы значений для $A \land B$ и $\lnot(\lnot A \lor \lnot B)$ полностью совпадают, что подтверждает эквивалентность выражений.

Ответ: $A \land B = \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$