Страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.1. Какие из данных предложений являются высказываниями:

1) $5 > 5$;

2) $x < 5$;

3) что больше, $\sin 30^\circ$ или $\cos 45^\circ$;

4) если четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, то $AB = CD$?

Для начала определим, что такое высказывание. Высказывание (или суждение) — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Проанализируем каждое из предложенных предложений с этой точки зрения.

1) 5 > 5;

Это предложение является утверждением. Мы можем проверить его истинность. Неравенство $5 > 5$ является ложным, так как 5 не больше 5 (они равны). Поскольку мы можем однозначно определить, что это утверждение ложно, оно является высказыванием.
Ответ: является высказыванием.

2) x < 5;

Это предложение содержит переменную $x$. Его истинность зависит от значения этой переменной. Например, если $x = 3$, то утверждение $3 < 5$ истинно. Если же $x = 10$, то утверждение $10 < 5$ ложно. Так как невозможно однозначно определить истинность или ложность этого предложения без дополнительной информации о $x$, оно не является высказыванием. Такие предложения называют предикатами.
Ответ: не является высказыванием.

3) что больше, sin 30° или cos 45°;

Это предложение является вопросительным, а не повествовательным. Оно не утверждает что-либо, а запрашивает информацию. Вопросы не могут быть истинными или ложными. Следовательно, это не высказывание.
(Для справки: $\sin 30^\circ = 0.5$, а $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, поэтому $\cos 45^\circ$ больше).
Ответ: не является высказыванием.

4) если четырёхугольник ABCD — параллелограмм, то AB = CD?

Это предложение также является вопросительным, о чём свидетельствует знак вопроса в конце. Оно не утверждает, а спрашивает о верности некоторого свойства. Повествовательное предложение «если четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, то $AB = CD$» было бы истинным высказыванием (так как это свойство параллелограмма), но в форме вопроса оно высказыванием не является.
Ответ: не является высказыванием.

3.2. Пусть $f$ — функция истинности. Найдите $f(A)$, если:

1) $A$ = {число 2 — простое};

2) $A$ = {уравнение $x^2 + x - 1 = 0$ не имеет корней};

3) $A$ = {Нью-Йорк — столица США}.

Функция истинности $f(A)$ сопоставляет каждому высказыванию $A$ его истинностное значение. Если высказывание истинно, то $f(A) = 1$. Если высказывание ложно, то $f(A) = 0$. Определим истинность каждого из предложенных высказываний.

1) $A = \{\text{число 2 — простое}\}$

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Число 2 является натуральным числом, большим единицы, и его делителями являются только 1 и 2. Следовательно, утверждение «число 2 — простое» является истинным.

Таким образом, $f(A) = 1$.

Ответ: $1$

2) $A = \{\text{уравнение } x^2 + x - 1 = 0 \text{ не имеет корней}\}$

Для определения наличия действительных корней у квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ необходимо вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет действительные корни.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=-1$.

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

Так как $D = 5 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, утверждение «уравнение $x^2 + x - 1 = 0$ не имеет корней» является ложным.

Таким образом, $f(A) = 0$.

Ответ: $0$

3) $A = \{\text{Нью-Йорк — столица США}\}$

Столицей Соединённых Штатов Америки является город Вашингтон. Нью-Йорк — крупнейший город США, но не столица. Следовательно, данное утверждение является ложным.

Таким образом, $f(A) = 0$.

Ответ: $0$

3.3. Даны два высказывания:

$A = \{5 < 6\}, B = \{6 \text{ - простое число}\}$

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \wedge B$;

2) $A \vee B$;

3) $A \Rightarrow B$;

4) $A \Leftrightarrow B$;

5) $\overline{A}$;

6) $\overline{B}$.

Для решения задачи сначала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $A \equiv \{5 < 6\}$. Это неравенство является верным, так как 5 действительно меньше 6. Следовательно, высказывание A истинно (можно обозначить как 1).

Высказывание B: $B \equiv \{6 \text{ — простое число}\}$. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Число 6 делится на 1, 2, 3 и 6. Так как у него больше двух делителей, оно не является простым. Следовательно, высказывание B ложно (можно обозначить как 0).

Теперь, зная что $A = 1$ (истина) и $B = 0$ (ложь), определим истинность составных высказываний.

1) $A \wedge B$

Это операция конъюнкции (логическое "И"). Высказывание $A \wedge B$ истинно только в том случае, если оба высказывания, A и B, истинны. В нашем случае A истинно, а B ложно.

Расчет: $1 \wedge 0 = 0$.

Таким образом, высказывание $A \wedge B$ является ложным.

Ответ: ложь.

2) $A \vee B$

Это операция дизъюнкции (логическое "ИЛИ"). Высказывание $A \vee B$ истинно, если хотя бы одно из высказываний, A или B, истинно. В нашем случае высказывание A истинно.

Расчет: $1 \vee 0 = 1$.

Таким образом, высказывание $A \vee B$ является истинным.

Ответ: истина.

3) $A \Rightarrow B$

Это операция импликации (логическое следование). Высказывание $A \Rightarrow B$ ложно только в одном случае: когда из истинной посылки (A) следует ложное заключение (B). Это в точности соответствует нашему случаю.

Расчет: $1 \Rightarrow 0 = 0$.

Таким образом, высказывание $A \Rightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложь.

4) $A \Leftrightarrow B$

Это операция эквиваленции (равнозначности). Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно только тогда, когда оба высказывания, A и B, имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). В нашем случае A истинно, а B ложно.

Расчет: $1 \Leftrightarrow 0 = 0$.

Таким образом, высказывание $A \Leftrightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложь.

5) $\bar{A}$

Это операция отрицания (логическое "НЕ"). Истинность высказывания $\bar{A}$ противоположна истинности высказывания A. Так как A истинно ($A=1$), его отрицание будет ложным.

Расчет: $\bar{1} = 0$.

Таким образом, высказывание $\bar{A}$ является ложным.

Ответ: ложь.

6) $\bar{B}$

Это операция отрицания (логическое "НЕ"). Истинность высказывания $\bar{B}$ противоположна истинности высказывания B. Так как B ложно ($B=0$), его отрицание будет истинным.

Расчет: $\bar{0} = 1$.

Таким образом, высказывание $\bar{B}$ является истинным.

Ответ: истина.

3.4. Даны два высказывания:

$A = \{2 = 3\}$, $B = \{2 \text{ --- простое число}\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \wedge B$;

2) $A \vee B$;

3) $A \Rightarrow B$;

4) $A \Leftrightarrow B$;

5) $\overline{A}$;

6) $\overline{B}$.

Для решения задачи сначала определим истинность или ложность каждого из исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $A = \{2 = 3\}$. Это математическое равенство неверно, так как 2 не равно 3. Следовательно, высказывание A является ложным (Л или 0).

Высказывание B: $B = \{2 \text{ — простое число}\}$. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Число 2 полностью соответствует этому определению (его делители — 1 и 2). Следовательно, высказывание B является истинным (И или 1).

Теперь, зная, что A — ложно (0), а B — истинно (1), определим истинность составных высказываний.

1) $A \wedge B$

Конъюнкция (логическое "И") $A \wedge B$ истинна только в том случае, если оба высказывания A и B истинны. Поскольку высказывание A ложно, результат конъюнкции будет ложным.

Формально: $0 \wedge 1 = 0$ (Ложь).

Ответ: высказывание $A \wedge B$ ложно.

2) $A \vee B$

Дизъюнкция (логическое "ИЛИ") $A \vee B$ истинна, если хотя бы одно из высказываний A или B истинно. Так как высказывание B истинно, результат дизъюнкции будет истинным.

Формально: $0 \vee 1 = 1$ (Истина).

Ответ: высказывание $A \vee B$ истинно.

3) $A \Rightarrow B$

Импликация (логическое следование "если A, то B") $A \Rightarrow B$ ложна только тогда, когда из истинной посылки (A) следует ложное заключение (B). В нашем случае посылка A ложна. Из ложной посылки может следовать что угодно, поэтому импликация всегда будет истинной.

Формально: $0 \Rightarrow 1 = 1$ (Истина).

Ответ: высказывание $A \Rightarrow B$ истинно.

4) $A \Leftrightarrow B$

Эквиваленция (равносильность "A тогда и только тогда, когда B") $A \Leftrightarrow B$ истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). У нас A ложно, а B истинно, их значения истинности не совпадают.

Формально: $0 \Leftrightarrow 1 = 0$ (Ложь).

Ответ: высказывание $A \Leftrightarrow B$ ложно.

5) $\bar{A}$

Отрицание (логическое "НЕ") $\bar{A}$ имеет значение истинности, противоположное A. Так как A ложно, его отрицание $\bar{A}$ будет истинным.

Формально: $\bar{0} = 1$ (Истина).

Ответ: высказывание $\bar{A}$ истинно.

6) $\bar{B}$

Отрицание $\bar{B}$ имеет значение истинности, противоположное B. Так как B истинно, его отрицание $\bar{B}$ будет ложным.

Формально: $\bar{1} = 0$ (Ложь).

Ответ: высказывание $\bar{B}$ ложно.

3.5. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания, причём $f(A) = 1$. Найдите, где это возможно, значение функции $f$:

1) $f(A \lor B)$;

2) $f(A \Rightarrow B)$;

3) $f(A \Leftrightarrow B)$;

4) $f(\overline{A})$.

Пусть $f$ — функция истинности, которая сопоставляет высказыванию значение $1$, если оно истинно, и $0$, если оно ложно. Нам дано, что $f(A) = 1$, то есть высказывание $A$ является истинным.

Выражение $A \lor B$ представляет собой дизъюнкцию (логическое "ИЛИ"). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно. Поскольку нам известно, что $A$ истинно ($f(A) = 1$), то результат дизъюнкции $A \lor B$ будет истинным независимо от значения истинности высказывания $B$.
Если $f(B) = 1$, то $f(A \lor B) = f(\text{истина} \lor \text{истина}) = 1$.
Если $f(B) = 0$, то $f(A \lor B) = f(\text{истина} \lor \text{ложь}) = 1$.
Таким образом, значение функции всегда равно 1.

Ответ: $f(A \lor B) = 1$.

Выражение $A \Rightarrow B$ представляет собой импликацию (логическое следование). Импликация ложна только в одном случае: когда посылка (антецедент) истинна, а следствие (консеквент) ложно. Нам дано, что посылка $A$ истинна ($f(A) = 1$). Значение истинности импликации в этом случае полностью зависит от значения истинности $B$.
Если $f(B) = 1$ (истинно), то $f(A \Rightarrow B) = f(1 \Rightarrow 1) = 1$.
Если $f(B) = 0$ (ложно), то $f(A \Rightarrow B) = f(1 \Rightarrow 0) = 0$.
Поскольку значение истинности высказывания $B$ неизвестно, однозначно определить значение $f(A \Rightarrow B)$ невозможно.

Ответ: Найти значение невозможно.

Выражение $A \Leftrightarrow B$ представляет собой эквиваленцию (равносильность). Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности. Нам дано, что $f(A) = 1$. Значение эквиваленции будет зависеть от значения $B$.
Если $f(B) = 1$, то оба высказывания истинны, и $f(A \Leftrightarrow B) = 1$.
Если $f(B) = 0$, то высказывания имеют разные значения истинности, и $f(A \Leftrightarrow B) = 0$.
Так как значение истинности $B$ не определено, найти значение $f(A \Leftrightarrow B)$ невозможно.

Ответ: Найти значение невозможно.

Выражение $\bar{A}$ представляет собой отрицание (логическое "НЕ"). Операция отрицания меняет значение истинности высказывания на противоположное. Поскольку нам дано, что высказывание $A$ истинно ($f(A) = 1$), его отрицание $\bar{A}$ будет ложным.

Ответ: $f(\bar{A}) = 0$.

3.6. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания, причём $f(\overline{A}) = 1$. Найдите, где это возможно, значение функции $f$:

1) $f(A \wedge B)$;

2) $f(A \vee B)$;

3) $f(A \Rightarrow B)$;

4) $f(A \Leftrightarrow B)$.

Поскольку $f$ — функция истинности и $f(\bar{A}) = 1$, это означает, что аргумент функции, высказывание $\bar{A}$, является истинным. Если высказывание $\bar{A}$ (отрицание $A$) истинно, то само высказывание $A$ является ложным. В двоичной логике истине соответствует значение $1$, а лжи — значение $0$. Таким образом, мы имеем, что истинностное значение высказывания $A$ равно $0$. Рассмотрим каждый случай, зная, что $A=0$.

1) $f(A \wedge B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \wedge B$ (конъюнкция, "И"). Конъюнкция истинна только тогда, когда оба высказывания истинны. Поскольку высказывание $A$ ложно ($A=0$), результат конъюнкции $A \wedge B$ будет ложным независимо от значения $B$. $0 \wedge B = 0$. Следовательно, значение функции $f(A \wedge B)$ равно $0$.
Ответ: 0

2) $f(A \vee B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \vee B$ (дизъюнкция, "ИЛИ"). Дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны. Мы знаем, что $A=0$. Если $B=1$ (истинно), то $A \vee B = 0 \vee 1 = 1$. Если $B=0$ (ложно), то $A \vee B = 0 \vee 0 = 0$. Поскольку значение $A \vee B$ зависит от неизвестного нам значения $B$, однозначно определить значение функции $f(A \vee B)$ невозможно.
Ответ: определить невозможно

3) $f(A \Rightarrow B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \Rightarrow B$ (импликация, "ЕСЛИ... ТО..."). Импликация ложна только в одном случае: когда посылка истинна, а следствие ложно. В нашем случае посылка $A$ ложна ($A=0$). Из лжи может следовать что угодно (и истина, и ложь), и при этом вся импликация будет истинной. $0 \Rightarrow B = 1$ для любого значения $B$. Следовательно, значение функции $f(A \Rightarrow B)$ равно $1$.
Ответ: 1

4) $f(A \Leftrightarrow B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \Leftrightarrow B$ (эквиваленция, "тогда и только тогда, когда"). Эквиваленция истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое истинностное значение. Мы знаем, что $A=0$. Если $B=1$ (истинно), то $A \Leftrightarrow B = 0 \Leftrightarrow 1 = 0$ (значения разные). Если $B=0$ (ложно), то $A \Leftrightarrow B = 0 \Leftrightarrow 0 = 1$ (значения одинаковые). Поскольку значение $A \Leftrightarrow B$ зависит от неизвестного нам значения $B$, однозначно определить значение функции $f(A \Leftrightarrow B)$ невозможно.
Ответ: определить невозможно

3.7. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания.

Найдите $f(B)$, если:

1) $f(A \Rightarrow B) = 1$ и $f(A) = 1$;

2) $f(A \Leftrightarrow B) = 0$ и $f(A) = 0$.

1)

По условию, $f$ – это функция истинности, которая сопоставляет высказыванию его значение: 1 (истина) или 0 (ложь). Нам даны два условия: $f(A \Rightarrow B) = 1$ и $f(A) = 1$.

Логическая операция импликации ($A \Rightarrow B$, читается как "из A следует B") является ложной только в одном случае: когда посылка $A$ истинна ($f(A) = 1$), а следствие $B$ ложно ($f(B) = 0$). Во всех остальных случаях импликация истинна.

Нам известно, что импликация $A \Rightarrow B$ истинна, и её посылка $A$ также истинна. Если бы высказывание $B$ было ложным ($f(B) = 0$), то при истинном $A$ ($f(A) = 1$) импликация $A \Rightarrow B$ была бы ложной ($f(A \Rightarrow B) = 0$), что противоречило бы условию.

Следовательно, для выполнения условия $f(A \Rightarrow B) = 1$ при $f(A) = 1$, высказывание $B$ должно быть истинным.

Ответ: $f(B) = 1$.

2)

По условию, нам даны два условия: $f(A \Leftrightarrow B) = 0$ и $f(A) = 0$.

Логическая операция эквиваленции ($A \Leftrightarrow B$, читается как "A эквивалентно B") является истинной, когда высказывания $A$ и $B$ имеют одинаковые истинностные значения (оба истинны или оба ложны). Соответственно, эквиваленция является ложной, когда истинностные значения $A$ и $B$ различны.

Условие $f(A \Leftrightarrow B) = 0$ означает, что высказывания $A$ и $B$ имеют разные истинностные значения. Нам также дано, что $f(A) = 0$ (высказывание $A$ ложно).

Поскольку $f(A)$ и $f(B)$ должны быть различными, а $f(A) = 0$, то $f(B)$ должно быть равно 1.

Ответ: $f(B) = 1$.

3.8. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания, причём $f(A \land B) = 1$. Найдите:

1) $f(\overline{A} \lor B)$;

2) $f(A \Rightarrow \overline{B})$;

3) $f(\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B})$;

4) $f(\overline{B} \Rightarrow A)$.

По условию, $f$ — функция истинности, и $f(A \wedge B) = 1$. Это означает, что высказывание $A \wedge B$ является истинным. Логическая операция конъюнкции (логическое "И", $\wedge$) истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, $A$ и $B$, истинны.

Следовательно, высказывание $A$ истинно и высказывание $B$ истинно.

Будем обозначать истину как 1, а ложь как 0. Таким образом, мы имеем:

$A = 1$

$B = 1$

Значение функции истинности $f$ от некоторого высказывания равно значению истинности этого высказывания. Теперь найдем значения истинности для каждого из выражений.

1) $f(\overline{A} \vee \overline{B})$

Поскольку $A=1$ и $B=1$, их отрицания равны $\overline{A}=0$ и $\overline{B}=0$.

Подставим эти значения в выражение:

$\overline{A} \vee \overline{B} = 0 \vee 0 = 0$ (ложь).

Операция дизъюнкции (логическое "ИЛИ", $\vee$) ложна, только когда оба операнда ложны.

Таким образом, значение истинности выражения $\overline{A} \vee \overline{B}$ равно 0.

Следовательно, $f(\overline{A} \vee \overline{B}) = 0$.

Ответ: 0

2) $f(A \Rightarrow \overline{B})$

Мы знаем, что $A=1$ и $\overline{B}=0$ (поскольку $B=1$).

Подставим эти значения в выражение:

$A \Rightarrow \overline{B} = 1 \Rightarrow 0 = 0$ (ложь).

Операция импликации ($\Rightarrow$) ложна только в том случае, когда из истинной посылки следует ложное заключение.

Таким образом, значение истинности выражения $A \Rightarrow \overline{B}$ равно 0.

Следовательно, $f(A \Rightarrow \overline{B}) = 0$.

Ответ: 0

3) $f(\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B})$

Мы знаем, что $\overline{A}=0$ и $\overline{B}=0$.

Подставим эти значения в выражение:

$\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B} = 0 \Leftrightarrow 0 = 1$ (истина).

Операция эквиваленции ($\Leftrightarrow$) истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности.

Таким образом, значение истинности выражения $\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B}$ равно 1.

Следовательно, $f(\overline{A} \Leftrightarrow \overline{B}) = 1$.

Ответ: 1

4) $f(\overline{B} \Rightarrow A)$

Мы знаем, что $\overline{B}=0$ и $A=1$.

Подставим эти значения в выражение:

$\overline{B} \Rightarrow A = 0 \Rightarrow 1 = 1$ (истина).

Операция импликации ($\Rightarrow$) истинна, если посылка ложна. В данном случае посылка $\overline{B}$ ложна.

Таким образом, значение истинности выражения $\overline{B} \Rightarrow A$ равно 1.

Следовательно, $f(\overline{B} \Rightarrow A) = 1$.

Ответ: 1