Номер 3.6, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.6. Пусть $f$ — функция истинности, $A$ и $B$ — некоторые высказывания, причём $f(\overline{A}) = 1$. Найдите, где это возможно, значение функции $f$:

1) $f(A \wedge B)$;

2) $f(A \vee B)$;

3) $f(A \Rightarrow B)$;

4) $f(A \Leftrightarrow B)$.

Поскольку $f$ — функция истинности и $f(\bar{A}) = 1$, это означает, что аргумент функции, высказывание $\bar{A}$, является истинным. Если высказывание $\bar{A}$ (отрицание $A$) истинно, то само высказывание $A$ является ложным. В двоичной логике истине соответствует значение $1$, а лжи — значение $0$. Таким образом, мы имеем, что истинностное значение высказывания $A$ равно $0$. Рассмотрим каждый случай, зная, что $A=0$.

1) $f(A \wedge B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \wedge B$ (конъюнкция, "И"). Конъюнкция истинна только тогда, когда оба высказывания истинны. Поскольку высказывание $A$ ложно ($A=0$), результат конъюнкции $A \wedge B$ будет ложным независимо от значения $B$. $0 \wedge B = 0$. Следовательно, значение функции $f(A \wedge B)$ равно $0$.
Ответ: 0

2) $f(A \vee B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \vee B$ (дизъюнкция, "ИЛИ"). Дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны. Мы знаем, что $A=0$. Если $B=1$ (истинно), то $A \vee B = 0 \vee 1 = 1$. Если $B=0$ (ложно), то $A \vee B = 0 \vee 0 = 0$. Поскольку значение $A \vee B$ зависит от неизвестного нам значения $B$, однозначно определить значение функции $f(A \vee B)$ невозможно.
Ответ: определить невозможно

3) $f(A \Rightarrow B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \Rightarrow B$ (импликация, "ЕСЛИ... ТО..."). Импликация ложна только в одном случае: когда посылка истинна, а следствие ложно. В нашем случае посылка $A$ ложна ($A=0$). Из лжи может следовать что угодно (и истина, и ложь), и при этом вся импликация будет истинной. $0 \Rightarrow B = 1$ для любого значения $B$. Следовательно, значение функции $f(A \Rightarrow B)$ равно $1$.
Ответ: 1

4) $f(A \Leftrightarrow B)$;
Нам нужно найти значение функции от высказывания $A \Leftrightarrow B$ (эквиваленция, "тогда и только тогда, когда"). Эквиваленция истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое истинностное значение. Мы знаем, что $A=0$. Если $B=1$ (истинно), то $A \Leftrightarrow B = 0 \Leftrightarrow 1 = 0$ (значения разные). Если $B=0$ (ложно), то $A \Leftrightarrow B = 0 \Leftrightarrow 0 = 1$ (значения одинаковые). Поскольку значение $A \Leftrightarrow B$ зависит от неизвестного нам значения $B$, однозначно определить значение функции $f(A \Leftrightarrow B)$ невозможно.
Ответ: определить невозможно