Номер 3.3, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.3. Даны два высказывания:

$A = \{5 < 6\}, B = \{6 \text{ - простое число}\}$

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \wedge B$;

2) $A \vee B$;

3) $A \Rightarrow B$;

4) $A \Leftrightarrow B$;

5) $\overline{A}$;

6) $\overline{B}$.

Для решения задачи сначала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $A \equiv \{5 < 6\}$. Это неравенство является верным, так как 5 действительно меньше 6. Следовательно, высказывание A истинно (можно обозначить как 1).

Высказывание B: $B \equiv \{6 \text{ — простое число}\}$. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Число 6 делится на 1, 2, 3 и 6. Так как у него больше двух делителей, оно не является простым. Следовательно, высказывание B ложно (можно обозначить как 0).

Теперь, зная что $A = 1$ (истина) и $B = 0$ (ложь), определим истинность составных высказываний.

1) $A \wedge B$

Это операция конъюнкции (логическое "И"). Высказывание $A \wedge B$ истинно только в том случае, если оба высказывания, A и B, истинны. В нашем случае A истинно, а B ложно.

Расчет: $1 \wedge 0 = 0$.

Таким образом, высказывание $A \wedge B$ является ложным.

Ответ: ложь.

2) $A \vee B$

Это операция дизъюнкции (логическое "ИЛИ"). Высказывание $A \vee B$ истинно, если хотя бы одно из высказываний, A или B, истинно. В нашем случае высказывание A истинно.

Расчет: $1 \vee 0 = 1$.

Таким образом, высказывание $A \vee B$ является истинным.

Ответ: истина.

3) $A \Rightarrow B$

Это операция импликации (логическое следование). Высказывание $A \Rightarrow B$ ложно только в одном случае: когда из истинной посылки (A) следует ложное заключение (B). Это в точности соответствует нашему случаю.

Расчет: $1 \Rightarrow 0 = 0$.

Таким образом, высказывание $A \Rightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложь.

4) $A \Leftrightarrow B$

Это операция эквиваленции (равнозначности). Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно только тогда, когда оба высказывания, A и B, имеют одинаковое значение истинности (оба истинны или оба ложны). В нашем случае A истинно, а B ложно.

Расчет: $1 \Leftrightarrow 0 = 0$.

Таким образом, высказывание $A \Leftrightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложь.

5) $\bar{A}$

Это операция отрицания (логическое "НЕ"). Истинность высказывания $\bar{A}$ противоположна истинности высказывания A. Так как A истинно ($A=1$), его отрицание будет ложным.

Расчет: $\bar{1} = 0$.

Таким образом, высказывание $\bar{A}$ является ложным.

Ответ: ложь.

6) $\bar{B}$

Это операция отрицания (логическое "НЕ"). Истинность высказывания $\bar{B}$ противоположна истинности высказывания B. Так как B ложно ($B=0$), его отрицание будет истинным.

Расчет: $\bar{0} = 1$.

Таким образом, высказывание $\bar{B}$ является истинным.

Ответ: истина.