Номер 2.15, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.15. В олимпиаде приняли участие 46 школьников. Им были предложены 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.

Пусть $A$ — множество школьников, решивших первую задачу, $B$ — множество школьников, решивших вторую задачу, и $C$ — множество школьников, решивших третью задачу.

По условию задачи нам даны следующие данные:

• Общее число участников: 46.
• Каждый участник решил хотя бы одну задачу, следовательно, количество элементов в объединении множеств $|A \cup B \cup C| = 46$.
• Первую и вторую задачу решили 11 участников: $|A \cap B| = 11$.
• Вторую и третью задачу решили 8 участников: $|B \cap C| = 8$.
• Первую и третью задачу решили 5 участников: $|A \cap C| = 5$.
• Все три задачи решили 2 участника: $|A \cap B \cap C| = 2$.

Нам нужно доказать, что хотя бы одну из задач решило не менее половины участников, то есть не менее $46 / 2 = 23$ школьников. Другими словами, нам нужно доказать, что $|A| \ge 23$ или $|B| \ge 23$ или $|C| \ge 23$.

Для нахождения суммы числа участников, решивших каждую задачу ($|A| + |B| + |C|$), воспользуемся формулой включений-исключений для трёх множеств:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

Подставим известные значения в формулу:

$46 = |A| + |B| + |C| - (11 + 5 + 8) + 2$

$46 = |A| + |B| + |C| - 24 + 2$

$46 = |A| + |B| + |C| - 22$

Отсюда находим сумму:

$|A| + |B| + |C| = 46 + 22 = 68$

Итак, сумма числа школьников, решивших первую, вторую и третью задачи, равна 68.

Теперь докажем требуемое утверждение от противного. Предположим, что каждую из трёх задач решило менее половины участников, то есть меньше 23 школьников. Так как число школьников — целое, это означает, что каждую задачу решило не более 22 человек:

• $|A| \le 22$
• $|B| \le 22$
• $|C| \le 22$

Если это предположение верно, то сумма числа решивших должна быть не больше, чем:

$|A| + |B| + |C| \le 22 + 22 + 22 = 66$

Однако ранее мы вычислили, что эта сумма равна 68. Мы пришли к противоречию, так как $68 \le 66$ — неверно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было ошибочным. Это означает, что как минимум для одной из задач количество решивших её школьников не может быть меньше 23. Таким образом, хотя бы одну из задач решили не менее 23 участников, что составляет половину от общего числа участников.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма числа участников, решивших каждую из задач, равна 68. Если бы каждую задачу решило менее 23 участников (т.е. 22 или меньше), то эта сумма была бы не более $22 \times 3 = 66$. Так как $68 > 66$, то по крайней мере одну задачу решило не менее 23 участников, что и требовалось доказать.