Номер 2.14, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.14. Множество A содержит 101 элемент. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.

Пусть дано множество $A$, состоящее из $n=101$ элемента. Необходимо доказать, что количество его подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.

Это утверждение можно доказать несколькими способами. Приведём два из них.

Способ 1. Алгебраический подход (с использованием бинома Ньютона)

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества, состоящего из $n$ элементов, определяется биномиальным коэффициентом $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Количество подмножеств с чётным числом элементов (обозначим его $N_{чёт}$) — это сумма количеств подмножеств с 0, 2, 4, ... элементами:
$N_{чёт} = \binom{101}{0} + \binom{101}{2} + \binom{101}{4} + \dots + \binom{101}{100}$

Количество подмножеств с нечётным числом элементов (обозначим его $N_{нечёт}$) — это сумма количеств подмножеств с 1, 3, 5, ... элементами:
$N_{нечёт} = \binom{101}{1} + \binom{101}{3} + \binom{101}{5} + \dots + \binom{101}{101}$

Рассмотрим разложение выражения $(1-1)^n$ по формуле бинома Ньютона:
$(1-1)^n = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \binom{n}{3} + \dots + (-1)^n \binom{n}{n}$

При $n=101$ левая часть равна $0^{101} = 0$. Таким образом, получаем:
$0 = \binom{101}{0} - \binom{101}{1} + \binom{101}{2} - \binom{101}{3} + \dots - \binom{101}{101}$

Перенесём все слагаемые с отрицательными знаками в левую часть равенства:
$\binom{101}{1} + \binom{101}{3} + \dots + \binom{101}{101} = \binom{101}{0} + \binom{101}{2} + \dots + \binom{101}{100}$

Слева стоит сумма, равная $N_{нечёт}$, а справа — сумма, равная $N_{чёт}$. Следовательно, $N_{нечёт} = N_{чёт}$, что и требовалось доказать.

Способ 2. Комбинаторный подход (построение взаимно-однозначного соответствия)

Пусть $A$ — данное множество из 101 элемента. Поскольку множество непустое, выберем в нём произвольный элемент и обозначим его $x$.

Теперь каждому подмножеству $S$ множества $A$ поставим в соответствие другое подмножество $S'$ по следующему правилу:

• Если элемент $x$ не принадлежит $S$ (т.е. $x \notin S$), то $S' = S \cup \{x\}$ (добавляем $x$ к $S$).
• Если элемент $x$ принадлежит $S$ (т.е. $x \in S$), то $S' = S \setminus \{x\}$ (удаляем $x$ из $S$).

Это правило устанавливает взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между всеми подмножествами $A$. Если мы применим правило к $S'$, то вернемся к исходному $S$.

При переходе от $S$ к $S'$ количество элементов меняется на 1 (либо $|S'| = |S|+1$, либо $|S'|=|S|-1$). Это означает, что чётность количества элементов в подмножестве меняется на противоположную.

Таким образом, наше правило ставит в соответствие каждому подмножеству с чётным числом элементов ровно одно подмножество с нечётным числом элементов, и наоборот. Это разбивает все подмножества на пары, где в каждой паре одно подмножество "чётное", а другое "нечётное".

Следовательно, количество подмножеств с чётным числом элементов в точности равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.

Ответ: Утверждение доказано. Количество подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.