Номер 2.12, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.12. Покажите, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.

Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Чтобы показать, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны, нам нужно построить такую биекцию. Рассмотрим два способа: геометрический и аналитический.

Способ 1: Геометрическое построение

Пусть у нас есть квадрат $ABCD$. Мы хотим показать равномощность множества точек стороны $AB$ и множества точек диагонали $AC$.

1. Рассмотрим каждую точку $P$ на диагонали $AC$.

2. Из каждой такой точки $P$ опустим перпендикуляр на сторону $AB$. Основание этого перпендикуляра назовем точкой $P'$.

3. Эта процедура (ортогональное проецирование) устанавливает соответствие между точками диагонали $AC$ и точками стороны $AB$.

Докажем, что это соответствие является взаимно-однозначным (биекцией):

• Инъективность (каждой точке на диагонали соответствует уникальная точка на стороне): Если мы возьмем две разные точки $P_1$ и $P_2$ на диагонали $AC$, их проекции $P'_1$ и $P'_2$ на сторону $AB$ также будут разными. Это следует из того, что диагональ $AC$ не параллельна и не перпендикулярна стороне $AB$.
• Сюръективность (каждая точка на стороне имеет соответствующую точку на диагонали): Для любой точки $P'$ на стороне $AB$ можно провести перпендикуляр к этой стороне. Этот перпендикуляр пересечет диагональ $AC$ в единственной точке $P$. Таким образом, у каждой точки на стороне $AB$ есть свой "прообраз" на диагонали $AC$.

Поскольку мы построили биекцию (геометрическое проецирование) между множеством точек диагонали и множеством точек стороны, эти два множества равномощны.

Способ 2: Аналитическое доказательство

Расположим квадрат в системе координат. Пусть его вершины находятся в точках $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$ и $D(0, a)$, где $a$ – длина стороны квадрата.

Множество точек стороны $AB$ можно описать как $S = \{(x, 0) | x \in [0, a]\}$.

Множество точек диагонали $AC$ можно описать как $D = \{(y, y) | y \in [0, a]\}$.

Хотя множества точек описываются через разные переменные, в данном конкретном расположении квадрата они обе параметризуются отрезком $[0, a]$. Однако, чтобы доказать утверждение в общем виде, нужно сопоставить длины отрезков.

Длина стороны $AB$ равна $L_1 = a$.

Длина диагонали $AC$ по теореме Пифагора равна $L_2 = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Задача сводится к доказательству равномощности двух отрезков разной длины: $[0, a]$ и $[0, a\sqrt{2}]$.

Построим функцию (биекцию) $f: [0, a] \to [0, a\sqrt{2}]$, которая сопоставляет каждой точке первого отрезка точку второго. Простейшая такая функция – линейное растяжение:

$f(x) = \sqrt{2} \cdot x$

Проверим, является ли эта функция биекцией:

• Функция определена для любого $x \in [0, a]$.
• Область значений: если $x=0$, то $f(0) = 0$. Если $x=a$, то $f(a) = a\sqrt{2}$. Поскольку функция непрерывна и монотонно возрастает, она принимает все значения в интервале $[0, a\sqrt{2}]$.
• Функция инъективна: если $f(x_1) = f(x_2)$, то $\sqrt{2}x_1 = \sqrt{2}x_2$, откуда $x_1 = x_2$.
• Функция сюръективна: для любого $y \in [0, a\sqrt{2}]$ существует $x = y/\sqrt{2}$, причем $x \in [0, a]$, такой что $f(x) = y$.

Так как мы построили биективную функцию между множеством, представляющим сторону, и множеством, представляющим диагональ, эти множества равномощны. Оба множества имеют мощность континуума ($c$).

Ответ: Существование взаимно-однозначного соответствия (биекции), которое можно показать как геометрически (через проецирование), так и аналитически (через линейную функцию), доказывает, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.